Алгебра Примеры

(6, 7, 2)

$(6, 7, 2)$ ,

(- 8, 3, - 1)

$(- 8, 3, - 1)$ ,

(7, 0, - 1)

$(7, 0, - 1)$ ,

(0, - 4, 0)

$(0, - 4, 0)$

Этап 1

По заданным точкам

C = (7, 0, - 1)

$C = (7, 0, - 1)$ и

D = (0, - 4, 0)

$D = (0, - 4, 0)$ находим плоскость, содержащую точки

A = (6, 7, 2)

$A = (6, 7, 2)$ и

B = (- 8, 3, - 1)

$B = (- 8, 3, - 1)$ и параллельную прямой

CD

$CD$ .

A = (6, 7, 2)

$A = (6, 7, 2)$

B = (- 8, 3, - 1)

$B = (- 8, 3, - 1)$

C = (7, 0, - 1)

$C = (7, 0, - 1)$

D = (0, - 4, 0)

$D = (0, - 4, 0)$

Этап 2

Сначала вычислим вектор направления прямой, проходящей через точки

C

$C$ и

D

$D$ . Для этого вычтем значения координат точки

C

$C$ из координат точки

D

$D$ .

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Этап 3

Заменим значения

x

$x$ ,

y

$y$ и

z

$z$ , затем упростим, чтобы получить вектор направления

V_{CD}

$V_{CD}$ для прямой

CD

$CD$ .

V_{CD} = ⟨ - 7, - 4, 1 ⟩

$V_{CD} = ⟨ - 7, - 4, 1 ⟩$

Этап 4

Вычислим вектор направления прямой, проходящей через точки

A

$A$ и

B

$B$ , используя тот же метод.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Этап 5

Заменим значения

x

$x$ ,

y

$y$ и

z

$z$ , затем упростим, чтобы получить вектор направления

V_{AB}

$V_{AB}$ для прямой

AB

$AB$ .

V_{AB} = ⟨ - 14, - 4, - 3 ⟩

$V_{AB} = ⟨ - 14, - 4, - 3 ⟩$

Этап 6

Плоскость решения будет содержать прямую, проходящую через точки

A

$A$ и

B

$B$ , с вектором направления

V_{A B}

$V_{A B}$ . Чтобы эта плоскость была параллельна прямой

C D

$C D$ , найдем вектор нормали к плоскости, который будет также перпендикулярен вектору направления прямой

C D

$C D$ . Вычислим вектор нормали, который является векторным произведением

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ , найдя определитель матрицы

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k - 14 & - 4 & - 3 - 7 & - 4 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ - 14 & - 4 & - 3 \\ - 7 & - 4 & 1 \end{array}]$

Этап 7

Вычислим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

0

$0$ . Если элементов

0

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке

1

$1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 7.1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

-

$-$ на схеме знаков.

Этап 7.1.3

Минор для

a_{11}

$a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой

1

$1$ и столбцом

1

$1$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 4 & - 3 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Этап 7.1.4

Умножим элемент

a_{11}

$a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 4 & - 3 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$i | \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Этап 7.1.5

Минор для

a_{12}

$a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой

1

$1$ и столбцом

2

$2$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} |$

Этап 7.1.6

Умножим элемент

a_{12}

$a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j

$- | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j$

Этап 7.1.7

Минор для

a_{13}

$a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой

1

$1$ и столбцом

3

$3$ .

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.1.8

Умножим элемент

a_{13}

$a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$| \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

Этап 7.1.9

Сложим члены.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 4 & - 3 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ - 4 & 1 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 4 & - 3 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ - 4 & 1 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

Этап 7.2

Найдем значение

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 4 & - 3 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 4 & - 3 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i (- 4 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 3)) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 4 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 3)) - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

Этап 7.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Умножим

- 4

$- 4$ на

1

$1$ .

i (- 4 - (- 4 \cdot - 3)) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 4 - (- 4 \cdot - 3)) - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

Этап 7.2.2.1.2

Умножим

- (- 4 \cdot - 3)

$- (- 4 \cdot - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.2.1

Умножим

- 4

$- 4$ на

- 3

$- 3$ .

i (- 4 - 1 \cdot 12) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 4 - 1 \cdot 12) - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

Этап 7.2.2.1.2.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

12

$12$ .

i (- 4 - 12) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 4 - 12) - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i (- 4 - 12) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 4 - 12) - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i (- 4 - 12) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 4 - 12) - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

Этап 7.2.2.2

Вычтем

12

$12$ из

- 4

$- 4$ .

i \cdot - 16 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i \cdot - 16 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i \cdot - 16 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - | \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

Этап 7.3

Найдем значение

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 3 - 7 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & - 3 \\ - 7 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i \cdot - 16 - (- 14 \cdot 1 - (- 7 \cdot - 3)) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - (- 14 \cdot 1 - (- 7 \cdot - 3)) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

Этап 7.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Умножим

- 14

$- 14$ на

1

$1$ .

i \cdot - 16 - (- 14 - (- 7 \cdot - 3)) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - (- 14 - (- 7 \cdot - 3)) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

Этап 7.3.2.1.2

Умножим

- (- 7 \cdot - 3)

$- (- 7 \cdot - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.2.1

Умножим

- 7

$- 7$ на

- 3

$- 3$ .

i \cdot - 16 - (- 14 - 1 \cdot 21) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - (- 14 - 1 \cdot 21) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

Этап 7.3.2.1.2.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

21

$21$ .

i \cdot - 16 - (- 14 - 21) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - (- 14 - 21) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i \cdot - 16 - (- 14 - 21) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - (- 14 - 21) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i \cdot - 16 - (- 14 - 21) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - (- 14 - 21) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

Этап 7.3.2.2

Вычтем

21

$21$ из

- 14

$- 14$ .

i \cdot - 16 - - 35 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - - 35 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i \cdot - 16 - - 35 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - - 35 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

i \cdot - 16 - - 35 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 16 - - 35 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} | k$

Этап 7.4

Найдем значение

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 14 & - 4 - 7 & - 4 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 14 & - 4 \\ - 7 & - 4 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i \cdot - 16 - - 35 j + (- 14 \cdot - 4 - (- 7 \cdot - 4)) k

$i \cdot - 16 - - 35 j + (- 14 \cdot - 4 - (- 7 \cdot - 4)) k$

Этап 7.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Умножим

- 14

$- 14$ на

- 4

$- 4$ .

i \cdot - 16 - - 35 j + (56 - (- 7 \cdot - 4)) k

$i \cdot - 16 - - 35 j + (56 - (- 7 \cdot - 4)) k$

Этап 7.4.2.1.2

Умножим

- (- 7 \cdot - 4)

$- (- 7 \cdot - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.2.1

Умножим

- 7

$- 7$ на

- 4

$- 4$ .

i \cdot - 16 - - 35 j + (56 - 1 \cdot 28) k

$i \cdot - 16 - - 35 j + (56 - 1 \cdot 28) k$

Этап 7.4.2.1.2.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

28

$28$ .

i \cdot - 16 - - 35 j + (56 - 28) k

$i \cdot - 16 - - 35 j + (56 - 28) k$

i \cdot - 16 - - 35 j + (56 - 28) k

$i \cdot - 16 - - 35 j + (56 - 28) k$

i \cdot - 16 - - 35 j + (56 - 28) k

$i \cdot - 16 - - 35 j + (56 - 28) k$

Этап 7.4.2.2

Вычтем

28

$28$ из

56

$56$ .

i \cdot - 16 - - 35 j + 28 k

$i \cdot - 16 - - 35 j + 28 k$

i \cdot - 16 - - 35 j + 28 k

$i \cdot - 16 - - 35 j + 28 k$

i \cdot - 16 - - 35 j + 28 k

$i \cdot - 16 - - 35 j + 28 k$

Этап 7.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перенесем

- 16

$- 16$ влево от

i

$i$ .

- 16 \cdot i - - 35 j + 28 k

$- 16 \cdot i - - 35 j + 28 k$

Этап 7.5.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 35

$- 35$ .

- 16 i + 35 j + 28 k

$- 16 i + 35 j + 28 k$

- 16 i + 35 j + 28 k

$- 16 i + 35 j + 28 k$

- 16 i + 35 j + 28 k

$- 16 i + 35 j + 28 k$

Этап 8

Решим выражение

(- 16) x + (35) y + (28) z

$(- 16) x + (35) y + (28) z$ в точке

A

$A$ , так как она лежит на плоскости. Это позволит вычислить константу в уравнении плоскости.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим

- 16

$- 16$ на

6

$6$ .

- 96 + (35) \cdot 7 + (28) \cdot 2

$- 96 + (35) \cdot 7 + (28) \cdot 2$

Этап 8.1.2

Умножим

35

$35$ на

7

$7$ .

- 96 + 245 + (28) \cdot 2

$- 96 + 245 + (28) \cdot 2$

Этап 8.1.3

Умножим

28

$28$ на

2

$2$ .

- 96 + 245 + 56

$- 96 + 245 + 56$

- 96 + 245 + 56

$- 96 + 245 + 56$

Этап 8.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим

- 96

$- 96$ и

245

$245$ .

149 + 56

$149 + 56$

Этап 8.2.2

Добавим

149

$149$ и

56

$56$ .

205

$205$

205

$205$

205

$205$

Этап 9

Добавим эту константу, чтобы получить уравнение плоскости

(- 16) x + (35) y + (28) z = 205

$(- 16) x + (35) y + (28) z = 205$ .

(- 16) x + (35) y + (28) z = 205

$(- 16) x + (35) y + (28) z = 205$

Этап 10

Умножим

28

$28$ на

z

$z$ .

- 16 x + 35 y + 28 z = 205

$- 16 x + 35 y + 28 z = 205$

Введите СВОЮ задачу