Алгебра Примеры

(1, 1, 1)

$(1, 1, 1)$ ,

(1, 2, 3)

$(1, 2, 3)$ ,

(2, 2, 2)

$(2, 2, 2)$ ,

(4, 7, 10)

$(4, 7, 10)$

Этап 1

По заданным точкам

C = (2, 2, 2)

$C = (2, 2, 2)$ и

D = (4, 7, 10)

$D = (4, 7, 10)$ находим плоскость, содержащую точки

A = (1, 1, 1)

$A = (1, 1, 1)$ и

B = (1, 2, 3)

$B = (1, 2, 3)$ и параллельную прямой

CD

$CD$ .

A = (1, 1, 1)

$A = (1, 1, 1)$

B = (1, 2, 3)

$B = (1, 2, 3)$

C = (2, 2, 2)

$C = (2, 2, 2)$

D = (4, 7, 10)

$D = (4, 7, 10)$

Этап 2

Сначала вычислим вектор направления прямой, проходящей через точки

C

$C$ и

D

$D$ . Для этого вычтем значения координат точки

C

$C$ из координат точки

D

$D$ .

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Этап 3

Заменим значения

x

$x$ ,

y

$y$ и

z

$z$ , затем упростим, чтобы получить вектор направления

V_{CD}

$V_{CD}$ для прямой

CD

$CD$ .

V_{CD} = ⟨ 2, 5, 8 ⟩

$V_{CD} = ⟨ 2, 5, 8 ⟩$

Этап 4

Вычислим вектор направления прямой, проходящей через точки

A

$A$ и

B

$B$ , используя тот же метод.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Этап 5

Заменим значения

x

$x$ ,

y

$y$ и

z

$z$ , затем упростим, чтобы получить вектор направления

V_{AB}

$V_{AB}$ для прямой

AB

$AB$ .

V_{AB} = ⟨ 0, 1, 2 ⟩

$V_{AB} = ⟨ 0, 1, 2 ⟩$

Этап 6

Плоскость решения будет содержать прямую, проходящую через точки

A

$A$ и

B

$B$ , с вектором направления

V_{A B}

$V_{A B}$ . Чтобы эта плоскость была параллельна прямой

C D

$C D$ , найдем вектор нормали к плоскости, который будет также перпендикулярен вектору направления прямой

C D

$C D$ . Вычислим вектор нормали, который является векторным произведением

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ , найдя определитель матрицы

[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

[\begin{array}{c} i & j & k \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 8 \end{array}]

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & 8 \end{array}]$

Этап 7

Вычислим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

0

$0$ . Если элементов

0

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке

1

$1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 7.1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

-

$-$ на схеме знаков.

Этап 7.1.3

Минор для

a_{11}

$a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой

1

$1$ и столбцом

1

$1$ .

| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

Этап 7.1.4

Умножим элемент

a_{11}

$a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$

Этап 7.1.5

Минор для

a_{12}

$a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой

1

$1$ и столбцом

2

$2$ .

| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |$

Этап 7.1.6

Умножим элемент

a_{12}

$a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

- | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j

$- | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j$

Этап 7.1.7

Минор для

a_{13}

$a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой

1

$1$ и столбцом

3

$3$ .

| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$

Этап 7.1.8

Умножим элемент

a_{13}

$a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Этап 7.1.9

Сложим члены.

i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} | - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} | - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} | - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k

$i | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} | - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Этап 7.2

Найдем значение

| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i (1 \cdot 8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k

$i (1 \cdot 8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Этап 7.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Умножим

8

$8$ на

1

$1$ .

i (8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k

$i (8 - 5 \cdot 2) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Этап 7.2.2.1.2

Умножим

- 5

$- 5$ на

2

$2$ .

i (8 - 10) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k

$i (8 - 10) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i (8 - 10) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k

$i (8 - 10) - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Этап 7.2.2.2

Вычтем

10

$10$ из

8

$8$ .

i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k

$i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k

$i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k

$i \cdot - 2 - | \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Этап 7.3

Найдем значение

| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 2 & 8 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i \cdot - 2 - (0 \cdot 8 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k

$i \cdot - 2 - (0 \cdot 8 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Этап 7.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Умножим

0

$0$ на

8

$8$ .

i \cdot - 2 - (0 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k

$i \cdot - 2 - (0 - 2 \cdot 2) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Этап 7.3.2.1.2

Умножим

- 2

$- 2$ на

2

$2$ .

i \cdot - 2 - (0 - 4) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k

$i \cdot - 2 - (0 - 4) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - (0 - 4) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k

$i \cdot - 2 - (0 - 4) j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Этап 7.3.2.2

Вычтем

4

$4$ из

0

$0$ .

i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k

$i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k

$i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k

$i \cdot - 2 - - 4 j + | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} | k$

Этап 7.4

Найдем значение

| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 2 & 5 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i \cdot - 2 - - 4 j + (0 \cdot 5 - 2 \cdot 1) k

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 \cdot 5 - 2 \cdot 1) k$

Этап 7.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1.1

Умножим

0

$0$ на

5

$5$ .

i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2 \cdot 1) k

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2 \cdot 1) k$

Этап 7.4.2.1.2

Умножим

- 2

$- 2$ на

1

$1$ .

i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k$

i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k

$i \cdot - 2 - - 4 j + (0 - 2) k$

Этап 7.4.2.2

Вычтем

2

$2$ из

0

$0$ .

i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k

$i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k$

i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k

$i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k$

i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k

$i \cdot - 2 - - 4 j - 2 k$

Этап 7.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перенесем

- 2

$- 2$ влево от

i

$i$ .

- 2 \cdot i - - 4 j - 2 k

$- 2 \cdot i - - 4 j - 2 k$

Этап 7.5.2

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 4

$- 4$ .

- 2 i + 4 j - 2 k

$- 2 i + 4 j - 2 k$

- 2 i + 4 j - 2 k

$- 2 i + 4 j - 2 k$

- 2 i + 4 j - 2 k

$- 2 i + 4 j - 2 k$

Этап 8

Решим выражение

(- 2) x + (4) y + (- 2) z

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z$ в точке

A

$A$ , так как она лежит на плоскости. Это позволит вычислить константу в уравнении плоскости.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим

- 2

$- 2$ на

1

$1$ .

- 2 + (4) \cdot 1 + (- 2) \cdot 1

$- 2 + (4) \cdot 1 + (- 2) \cdot 1$

Этап 8.1.2

Умножим

4

$4$ на

1

$1$ .

- 2 + 4 + (- 2) \cdot 1

$- 2 + 4 + (- 2) \cdot 1$

Этап 8.1.3

Умножим

- 2

$- 2$ на

1

$1$ .

- 2 + 4 - 2

$- 2 + 4 - 2$

- 2 + 4 - 2

$- 2 + 4 - 2$

Этап 8.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим

- 2

$- 2$ и

4

$4$ .

2 - 2

$2 - 2$

Этап 8.2.2

Вычтем

2

$2$ из

2

$2$ .

0

$0$

0

$0$

0

$0$

Этап 9

Добавим эту константу, чтобы получить уравнение плоскости

(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0$ .

(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0

$(- 2) x + (4) y + (- 2) z = 0$

Этап 10

Умножим

- 2

$- 2$ на

z

$z$ .

- 2 x + 4 y - 2 z = 0

$- 2 x + 4 y - 2 z = 0$

Введите СВОЮ задачу