Алгебра Примеры

7 x - y = - 4

$7 x - y = - 4$ ,

3 x - y = 0

$3 x - y = 0$

Этап 1

Чтобы найти пересечение прямой, проходящей через точку

(p, q, r)

$(p, q, r)$ перпендикулярно плоскости

P_{1}

$P_{1}$

a x + b y + c z = d

$a x + b y + c z = d$ , с плоскостью

P_{2}

$P_{2}$

e x + f y + g z = h

$e x + f y + g z = h$ :

1. Найдем векторы нормали плоскости

P_{1}

$P_{1}$ и плоскости

P_{2}

$P_{2}$ , где векторы нормали — это

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ и

n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ . Проверим, равно ли скалярное произведение 0.

2. Создадим набор параметрических уравнений, таких как

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ и

z = r + c t

$z = r + c t$ .

3. Подставим эти уравнения в уравнение для плоскости

P_{2}

$P_{2}$ так, чтобы

e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h

$e (p + a t) + f (q + b t) + g (r + c t) = h$ , и решим для

t

$t$

4. Используя значение

t

$t$ , решим параметрические уравнения

x = p + a t

$x = p + a t$ ,

y = q + b t

$y = q + b t$ и

z = r + c t

$z = r + c t$ относительно

t

$t$ , чтобы найти пересечение

(x, y, z)

$(x, y, z)$ .

Этап 2

Найдем нормальные векторы для каждой плоскости и определим, перпендикулярны ли они, вычислив скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

P_{1}

$P_{1}$ представляет собой

7 x - y = - 4

$7 x - y = - 4$ . Найдем вектор нормали

n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩

$n_{1} = ⟨ a, b, c ⟩$ из уравнения плоскости вида

$a x + b y + c z = d$ .

$n_{1} = ⟨ 7, - 1, 0 ⟩$

Этап 2.2

$P_{2}$ представляет собой

$3 x - y = 0$ . Найдем вектор нормали

$n_{2} = ⟨ e, f, g ⟩$ из уравнения плоскости вида

$e x + f y + g z = h$ .

$n_{2} = ⟨ 3, - 1, 0 ⟩$

Этап 2.3

Вычислим скалярное произведение

$n_{1}$ и

$n_{2}$ , суммируя произведения соответствующих значений

$x$ ,

$y$ и

$z$ в векторах нормали.

$7 \cdot 3 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Этап 2.4

Упростим скалярное произведение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Избавимся от скобок.

$7 \cdot 3 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Этап 2.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим

$7$ на

$3$ .

$21 - 1 \cdot - 1 + 0 \cdot 0$

Этап 2.4.2.2

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$21 + 1 + 0 \cdot 0$

Этап 2.4.2.3

Умножим

$0$ на

$0$ .

$21 + 1 + 0$

Этап 2.4.3

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Добавим

$21$ и

$1$ .

$22 + 0$

Этап 2.4.3.2

Добавим

$22$ и

$0$ .

$22$

Этап 3

Затем составим набор параметрических уравнений

$x = p + a t$ ,

$y = q + b t$ и

$z = r + c t$ , используя начало координат

$(0, 0, 0)$ для точки

$(p, q, r)$ и значения из вектора нормали

$22$ для получения значений

$a$ ,

$b$ и

$c$ . Этот набор параметрических уравнений представляет прямую, проходящую через начало координат и перпендикулярную

$P_{1}$

$7 x - y = - 4$ .

$x = 0 + 7 \cdot t$

$y = 0 + - 1 \cdot t$

$z = 0 + 0 \cdot t$

Этап 4

Подставим выражение для

$x$ ,

$y$ и

$z$ в уравнение для

$P_{2}$

$3 x - y = 0$ .

$3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = 0$

Этап 5

Решим уравнение относительно

$t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим

$3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим противоположные члены в

$3 (0 + 7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Добавим

$0$ и

$7 \cdot t$ .

$3 (7 \cdot t) - (0 - 1 \cdot t) = 0$

Этап 5.1.1.2

Вычтем

$1 \cdot t$ из

$0$ .

$3 (7 \cdot t) - (- 1 \cdot t) = 0$

Этап 5.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим

$7$ на

$3$ .

$21 t - (- 1 \cdot t) = 0$

Этап 5.1.2.2

Перепишем

$- 1 t$ в виде

$- t$ .

$21 t - - t = 0$

Этап 5.1.2.3

Умножим

$- - t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$21 t + 1 t = 0$

Этап 5.1.2.3.2

Умножим

$t$ на

$1$ .

$21 t + t = 0$

Этап 5.1.3

Добавим

$21 t$ и

$t$ .

$22 t = 0$

Этап 5.2

Разделим каждый член

$22 t = 0$ на

$22$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член

$22 t = 0$ на

$22$ .

$\frac{22 t}{22} = \frac{0}{22}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель

$22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{22 t}{22} = \frac{0}{22}$

Этап 5.2.2.1.2

Разделим

$t$ на

$1$ .

$t = \frac{0}{22}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим

$0$ на

$22$ .

$t = 0$

Этап 6

Решим параметрические уравнения относительно

$x$ ,

$y$ и

$z$ , используя значение

$t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Решим уравнение относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Избавимся от скобок.

$x = 0 + 7 \cdot (0)$

Этап 6.1.2

Упростим

$0 + 7 \cdot (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим

$7$ на

$0$ .

$x = 0 + 0$

Этап 6.1.2.2

Добавим

$0$ и

$0$ .

$x = 0$

Этап 6.2

Решим уравнение относительно

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0 - 1 \cdot 0$

Этап 6.2.2

Вычтем

$0$ из

$0$ .

$y = 0$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно

$z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Избавимся от скобок.

$z = 0 + 0 \cdot (0)$

Этап 6.3.2

Упростим

$0 + 0 \cdot (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим

$0$ на

$0$ .

$z = 0 + 0$

Этап 6.3.2.2

Добавим

$0$ и

$0$ .

$z = 0$

Этап 6.4

Решенные параметрические уравнения относительно

$x$ ,

$y$ и

$z$ .

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Этап 7

Использование значений, вычисленных для

$x$ ,

$y$ и

$z$ , найденная точка пересечения:

$(0, 0, 0)$ .

$(0, 0, 0)$

Введите СВОЮ задачу