Trigonometria Exemplos

$\tan (\frac{3 π}{8})$

Etapa 1

Reescreva

$\frac{3 π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por

$2$ .

$\tan (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})$

Etapa 2

Aplique a fórmula do arco metade da tangente.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Etapa 3

Altere o

$\pm$ para

$+$ , porque a tangente é positiva no primeiro quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Etapa 4

Simplifique

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Etapa 4.2

O valor exato de

$\cos (\frac{π}{4})$ é

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Etapa 4.3

Multiplique

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Etapa 4.3.2

Multiplique

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ por

$1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Etapa 4.4

Escreva

$1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Etapa 4.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}}$

Etapa 4.7

O valor exato de

$\cos (\frac{π}{4})$ é

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 4.8

Escreva

$1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 4.10

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Etapa 4.11

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.11.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Etapa 4.11.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}$

Etapa 4.12

Multiplique

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ por

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}$

Etapa 4.13

Multiplique

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ por

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Etapa 4.14

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Etapa 4.15

Simplifique.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.16

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.17

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.17.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.17.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.18

Combine

$\sqrt{2}$ e

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Etapa 4.19

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.19.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.19.2

Mova

$2$ para a esquerda de

$\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 4.19.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Etapa 4.19.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.19.4.1

Multiplique

$2$ por

$2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Etapa 4.19.4.2

Reescreva

$4$ como

$2^{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Etapa 4.19.4.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Etapa 4.19.5

Cancele o fator comum de

$2 \sqrt{2} + 2$ e

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.19.5.1

Fatore

$2$ de

$2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}$

Etapa 4.19.5.2

Fatore

$2$ de

$2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}$

Etapa 4.19.5.3

Fatore

$2$ de

$2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}$

Etapa 4.19.5.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.19.5.4.1

Fatore

$2$ de

$2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}$

Etapa 4.19.5.4.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}$

Etapa 4.19.5.4.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}$

Etapa 4.19.5.4.4

Divida

$\sqrt{2} + 1$ por

$1$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}$

Etapa 4.20

Some

$2$ e

$1$ .

$\sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}$

Etapa 4.21

Some

$\sqrt{2}$ e

$\sqrt{2}$ .

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Forma decimal:

$2.41421356 \dots$