Trigonometria Exemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 4 \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 75 \\ B = & 20 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Etapa 1

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 2

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $a$ .

$\frac{\sin (75)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Etapa 3

Resolva a equação para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

O valor exato de $\sin (75)$ é $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Divida $75$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{\sin (30 + 45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Etapa 3.1.1.2

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$\frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Etapa 3.1.1.3

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Etapa 3.1.1.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Etapa 3.1.1.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Etapa 3.1.1.6

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Etapa 3.1.1.7

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.7.1.1

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.7.1.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Etapa 3.1.1.7.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Etapa 3.1.1.7.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Etapa 3.1.1.7.1.2.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Etapa 3.1.1.7.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Etapa 3.1.1.7.1.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Etapa 3.1.1.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Etapa 3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Etapa 3.1.3

Multiplique $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ por $\frac{1}{a}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = \frac{\sin (20)}{4}$

Etapa 3.1.4

Avalie $\sin (20)$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = \frac{0.34202014}{4}$

Etapa 3.1.5

Divida $0.34202014$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = 0.08550503$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$4 a, 1$

Etapa 3.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$4 a$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = 0.08550503$ por $4 a$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = 0.08550503$ por $4 a$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} (4 a) = 0.08550503 (4 a)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} a = 0.08550503 (4 a)$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Fatore $4$ de $4 a$ .

$4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 (a)} a = 0.08550503 (4 a)$

Etapa 3.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} a = 0.08550503 (4 a)$

Etapa 3.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{a} a = 0.08550503 (4 a)$

Etapa 3.3.2.3

Cancele o fator comum de $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{a} a = 0.08550503 (4 a)$

Etapa 3.3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{2} + \sqrt{6} = 0.08550503 (4 a)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Multiplique $4$ por $0.08550503$ .

$\sqrt{2} + \sqrt{6} = 0.34202014 a$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ .

$0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ por $0.34202014$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ por $0.34202014$ .

$\frac{0.34202014 a}{0.34202014} = \frac{\sqrt{2}}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $0.34202014$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.34202014 a}{0.34202014} = \frac{\sqrt{2}}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{\sqrt{2}}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.1

Avalie a raiz.

$a = \frac{1.41421356}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Etapa 3.4.2.3.1.2

Divida $1.41421356$ por $0.34202014$ .

$a = 4.13488383 + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

Etapa 3.4.2.3.1.3

Avalie a raiz.

$a = 4.13488383 + \frac{2.44948974}{0.34202014}$

Etapa 3.4.2.3.1.4

Divida $2.44948974$ por $0.34202014$ .

$a = 4.13488383 + 7.16182888$

Etapa 3.4.2.3.2

Some $4.13488383$ e $7.16182888$ .

$a = 11.29671272$

Etapa 4

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$75 + C + 20 = 180$

Etapa 5

Resolva a equação para $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Some $75$ e $20$ .

$C + 95 = 180$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia $95$ dos dois lados da equação.

$C = 180 - 95$

Etapa 5.2.2

Subtraia $95$ de $180$ .

$C = 85$

Etapa 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 7

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $c$ .

$\frac{\sin (85)}{c} = \frac{\sin (75)}{11.29671272}$

Etapa 8

Resolva a equação para $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Avalie $\sin (85)$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (75)}{11.29671272}$

Etapa 8.1.2

O valor exato de $\sin (75)$ é $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1

Divida $75$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (30 + 45)}{11.29671272}$

Etapa 8.1.2.2

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{11.29671272}$

Etapa 8.1.2.3

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{11.29671272}$

Etapa 8.1.2.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{11.29671272}$

Etapa 8.1.2.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{11.29671272}$

Etapa 8.1.2.6

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{11.29671272}$

Etapa 8.1.2.7

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.7.1.1

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.7.1.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{11.29671272}$

Etapa 8.1.2.7.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{11.29671272}$

Etapa 8.1.2.7.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{11.29671272}$

Etapa 8.1.2.7.1.2.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{11.29671272}$

Etapa 8.1.2.7.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{11.29671272}$

Etapa 8.1.2.7.1.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{11.29671272}$

Etapa 8.1.2.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{11.29671272}$

Etapa 8.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{11.29671272}$

Etapa 8.1.4

Divida $1$ por $11.29671272$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.08852132$

Etapa 8.1.5

Multiplique $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.08852132$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.5.1

Combine $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ e $0.08852132$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot 0.08852132}{4}$

Etapa 8.1.5.2

Multiplique $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ por $0.08852132$ .

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{0.34202014}{4}$

Etapa 8.1.6

Divida $0.34202014$ por $4$ .

$\frac{0.99619469}{c} = 0.08550503$

Etapa 8.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$c, 1$

Etapa 8.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$c$

Etapa 8.3

Multiplique cada termo em $\frac{0.99619469}{c} = 0.08550503$ por $c$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{0.99619469}{c} = 0.08550503$ por $c$ .

$\frac{0.99619469}{c} c = 0.08550503 c$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Cancele o fator comum de $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.99619469}{c} c = 0.08550503 c$

Etapa 8.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$0.99619469 = 0.08550503 c$

Etapa 8.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Reescreva a equação como $0.08550503 c = 0.99619469$ .

$0.08550503 c = 0.99619469$

Etapa 8.4.2

Divida cada termo em $0.08550503 c = 0.99619469$ por $0.08550503$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1

Divida cada termo em $0.08550503 c = 0.99619469$ por $0.08550503$ .

$\frac{0.08550503 c}{0.08550503} = \frac{0.99619469}{0.08550503}$

Etapa 8.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $0.08550503$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.08550503 c}{0.08550503} = \frac{0.99619469}{0.08550503}$

Etapa 8.4.2.2.1.2

Divida $c$ por $1$ .

$c = \frac{0.99619469}{0.08550503}$

Etapa 8.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.3.1

Divida $0.99619469$ por $0.08550503$ .

$c = 11.65071376$