Trigonometria Exemplos

$5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$

Etapa 1

Eleve os dois lados da equação ao quadrado.

${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2

Simplifique ${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Reescreva ${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ como $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ .

$(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.2

Expanda $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \sin (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $5 \sin (t) (5 \sin (t))$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$25 \sin (t) \sin (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.3.1.1.2

Eleve $\sin (t)$ à potência de $1$ .

$25 (\sin^{1} (t) \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.3.1.1.3

Eleve $\sin (t)$ à potência de $1$ .

$25 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.3.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$25 {\sin (t)}^{1 + 1} + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $5 \cos (t) (5 \cos (t))$ .

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Etapa 2.3.1.4.1

Multiplique $5$ por $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \cos (t) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.3.1.4.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.3.1.4.3

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.3.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 {\cos (t)}^{1 + 1} = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.3.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.3.2

Reordene os fatores de $25 \sin (t) \cos (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.3.3

Some $25 \cos (t) \sin (t)$ e $25 \cos (t) \sin (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.4

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.4.1

Mova $25 \cos^{2} (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.4.2

Fatore $25$ de $25 \sin^{2} (t)$ .

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.4.3

Fatore $25$ de $25 \cos^{2} (t)$ .

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.4.4

Fatore $25$ de $25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t))$ .

$25 (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$25 \cdot 1 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 2.6

Multiplique $25$ por $1$ .

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Etapa 3

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = 25$

Etapa 4

Mova todos os termos que não contêm $t$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

$50 \cos (t) \sin (t) = 25 - 25$

Etapa 4.2

Subtraia $25$ de $25$ .

$50 \cos (t) \sin (t) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (t) = 0$

$\sin (t) = 0$

Etapa 6

Defina $\cos (t)$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

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Etapa 6.1

Defina $\cos (t)$ como igual a $0$ .

$\cos (t) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\cos (t) = 0$ para $t$ .

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Etapa 6.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do cosseno.

$t = \arccos (0)$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$t = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 6.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$t = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 6.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$t = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 6.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Etapa 6.2.5

Encontre o período de $\cos (t)$ .

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Etapa 6.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.2.6

O período da função $\cos (t)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Defina $\sin (t)$ como igual a $0$ e resolva para $t$ .

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Etapa 7.1

Defina $\sin (t)$ como igual a $0$ .

$\sin (t) = 0$

Etapa 7.2

Resolva $\sin (t) = 0$ para $t$ .

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Etapa 7.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do seno.

$t = \arcsin (0)$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$t = 0$

Etapa 7.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$t = π - 0$

Etapa 7.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$t = π$

Etapa 7.2.5

Encontre o período de $\sin (t)$ .

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Etapa 7.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 7.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 7.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 7.2.6

O período da função $\sin (t)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$t = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $50 \cos (t) \sin (t) = 0$ verdadeiro.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as respostas.

$t = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Verifique as soluções, substituindo-as em $5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$ e resolvendo.

$t = π + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$