Trigonometria Exemplos

$A = 60 °$ $b = 9$ $a = 16$

Etapa 1

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 2

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $B$ .

$\frac{\sin (B)}{9} = \frac{\sin (60 °)}{16}$

Etapa 3

Resolva a equação para $B$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $9$ .

$9 \frac{\sin (B)}{9} = 9 \frac{\sin (60 °)}{16}$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$9 \frac{\sin (B)}{9} = 9 \frac{\sin (60 °)}{16}$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (B) = 9 \frac{\sin (60 °)}{16}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $9 \frac{\sin (60 °)}{16}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

O valor exato de $\sin (60 °)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = 9 \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{16}$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sin (B) = 9 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{16})$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{16}$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{16}$ .

$\sin (B) = 9 \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$\sin (B) = 9 \frac{\sqrt{3}}{32}$

Etapa 3.2.2.1.4

Combine $9$ e $\frac{\sqrt{3}}{32}$ .

$\sin (B) = \frac{9 \sqrt{3}}{32}$

Etapa 3.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $B$ de dentro do seno.

$B = \arcsin (\frac{9 \sqrt{3}}{32})$

Etapa 3.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.1

Avalie $\arcsin (\frac{9 \sqrt{3}}{32})$ .

$B = 29.15272817$

Etapa 3.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$B = 180 - 29.15272817$

Etapa 3.6

Subtraia $29.15272817$ de $180$ .

$B = 150.84727182$

Etapa 3.7

A solução para a equação $B = 29.15272817$ .

$B = 29.15272817, 150.84727182$

Etapa 3.8

Exclua o ângulo inválido.

$B = 29.15272817$

Etapa 4

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$60 ° + C + 29.15272817 = 180$

Etapa 5

Resolva a equação para $C$ .

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Etapa 5.1

Some $60 °$ e $29.15272817$ .

$C + 89.15272817 = 180$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $89.15272817$ dos dois lados da equação.

$C = 180 - 89.15272817$

Etapa 5.2.2

Subtraia $89.15272817$ de $180$ .

$C = 90.84727182$

Etapa 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 7

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $c$ .

$\frac{\sin (90.84727182)}{c} = \frac{\sin (60 °)}{16}$

Etapa 8

Resolva a equação para $c$ .

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Etapa 8.1

Fatore cada termo.

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Etapa 8.1.1

Avalie $\sin (90.84727182)$ .

$\frac{0.99989066}{c} = \frac{\sin (60 °)}{16}$

Etapa 8.1.2

O valor exato de $\sin (60 °)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.99989066}{c} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{16}$

Etapa 8.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{0.99989066}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{16}$

Etapa 8.1.4

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{16}$ .

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Etapa 8.1.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{16}$ .

$\frac{0.99989066}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Etapa 8.1.4.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$\frac{0.99989066}{c} = \frac{\sqrt{3}}{32}$

Etapa 8.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 8.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$c, 32$

Etapa 8.2.2

Como $c, 32$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $c, 32$ 1) e, depois, o da parte variável $c, 32$ .

Etapa 8.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 8.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 8.2.5

Os fatores primos de $32$ são $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Etapa 8.2.5.1

$32$ tem fatores de $2$ e $16$ .

$2 \cdot 16$

Etapa 8.2.5.2

$16$ tem fatores de $2$ e $8$ .

$2 \cdot 2 \cdot 8$

Etapa 8.2.5.3

$8$ tem fatores de $2$ e $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4$

Etapa 8.2.5.4

$4$ tem fatores de $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Etapa 8.2.6

Multiplique $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Etapa 8.2.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Etapa 8.2.6.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 \cdot 2 \cdot 2$

Etapa 8.2.6.3

Multiplique $8$ por $2$ .

$16 \cdot 2$

Etapa 8.2.6.4

Multiplique $16$ por $2$ .

$32$

Etapa 8.2.7

O fator de $c^{1}$ é o próprio $c$ .

$c^{1} = c$

$c$ ocorre $1$ vez.

Etapa 8.2.8

O MMC de $c^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$c$

Etapa 8.2.9

O MMC de $c, 32$ é a parte numérica $32$ multiplicada pela parte variável.

$32 c$

Etapa 8.3

Multiplique cada termo em $\frac{0.99989066}{c} = \frac{\sqrt{3}}{32}$ por $32 c$ para eliminar as frações.

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Etapa 8.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{0.99989066}{c} = \frac{\sqrt{3}}{32}$ por $32 c$ .

$\frac{0.99989066}{c} (32 c) = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$32 \frac{0.99989066}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Etapa 8.3.2.2

Multiplique $32 \frac{0.99989066}{c}$ .

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Etapa 8.3.2.2.1

Combine $32$ e $\frac{0.99989066}{c}$ .

$\frac{32 \cdot 0.99989066}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Etapa 8.3.2.2.2

Multiplique $32$ por $0.99989066$ .

$\frac{31.99650125}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Etapa 8.3.2.3

Cancele o fator comum de $c$ .

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Etapa 8.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{31.99650125}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Etapa 8.3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$31.99650125 = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Etapa 8.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.3.1

Cancele o fator comum de $32$ .

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Etapa 8.3.3.1.1

Fatore $32$ de $32 c$ .

$31.99650125 = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 (c))$

Etapa 8.3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$31.99650125 = \frac{\sqrt{3}}{32} (32 c)$

Etapa 8.3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$31.99650125 = \sqrt{3} c$

Etapa 8.4

Resolva a equação.

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Etapa 8.4.1

Reescreva a equação como $\sqrt{3} c = 31.99650125$ .

$\sqrt{3} c = 31.99650125$

Etapa 8.4.2

Divida cada termo em $\sqrt{3} c = 31.99650125$ por $\sqrt{3}$ e simplifique.

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Etapa 8.4.2.1

Divida cada termo em $\sqrt{3} c = 31.99650125$ por $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{3}} = \frac{31.99650125}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{3}$ .

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Etapa 8.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{3}} = \frac{31.99650125}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.4.2.2.1.2

Divida $c$ por $1$ .

$c = \frac{31.99650125}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.4.2.3.1

Multiplique $\frac{31.99650125}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = \frac{31.99650125}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 8.4.2.3.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 8.4.2.3.2.1

Multiplique $\frac{31.99650125}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 8.4.2.3.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 8.4.2.3.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 8.4.2.3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.4.2.3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 8.4.2.3.2.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 8.4.2.3.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.4.2.3.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.4.2.3.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.4.2.3.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.4.2.3.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.4.2.3.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 8.4.2.3.2.6.5

Avalie o expoente.

$c = \frac{31.99650125 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 8.4.2.3.3

Multiplique $31.99650125$ por $\sqrt{3}$ .

$c = \frac{55.41956583}{3}$

Etapa 8.4.2.3.4

Divida $55.41956583$ por $3$ .

$c = 18.47318861$

Etapa 9

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 60 °$

$B = 29.15272817$

$C = 90.84727182$

$a = 16$

$b = 9$

$c = 18.47318861$