Trigonometria Exemplos

$\cos (2 θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $[0, 2 π)$

Etapa 1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$2 θ = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$2 θ = \frac{π}{6}$

Etapa 3

Divida cada termo em $2 θ = \frac{π}{6}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 θ = \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$θ = \frac{π}{12}$

Etapa 4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 θ = 2 π - \frac{π}{6}$

Etapa 5

Resolva $θ$ .

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 5.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 5.1.4

Multiplique $6$ por $2$ .

$2 θ = \frac{12 π - π}{6}$

Etapa 5.1.5

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$2 θ = \frac{11 π}{6}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $2 θ = \frac{11 π}{6}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $2 θ = \frac{11 π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{11 π}{6}}{2}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 5.2.3.2.1

Multiplique $\frac{11 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{11 π}{6 \cdot 2}$

Etapa 5.2.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$θ = \frac{11 π}{12}$

Etapa 6

Encontre o período de $\cos (2 θ)$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 6.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 7

O período da função $\cos (2 θ)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Encontre os valores de $n$ que produzem um valor dentro do intervalo $[0, 2 π)$ .

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Etapa 8.1

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

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Etapa 8.1.1

Substitua $0$ por $n$ .

$\frac{π}{12} + π (0)$

Etapa 8.1.2

Simplifique.

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Etapa 8.1.2.1

Multiplique $π$ por $0$ .

$\frac{π}{12} + 0$

Etapa 8.1.2.2

Some $\frac{π}{12}$ e $0$ .

$\frac{π}{12}$

Etapa 8.1.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}$

Etapa 8.2

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

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Etapa 8.2.1

Substitua $0$ por $n$ .

$\frac{11 π}{12} + π (0)$

Etapa 8.2.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.2.1

Multiplique $π$ por $0$ .

$\frac{11 π}{12} + 0$

Etapa 8.2.2.2

Some $\frac{11 π}{12}$ e $0$ .

$\frac{11 π}{12}$

Etapa 8.2.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{11 π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}$

Etapa 8.3

Substitua $1$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

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Etapa 8.3.1

Substitua $1$ por $n$ .

$\frac{π}{12} + π (1)$

Etapa 8.3.2

Simplifique.

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Etapa 8.3.2.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$\frac{π}{12} + π$

Etapa 8.3.2.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

Etapa 8.3.2.3

Combine frações.

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Etapa 8.3.2.3.1

Combine $π$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

Etapa 8.3.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π + π \cdot 12}{12}$

Etapa 8.3.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.2.4.1

Mova $12$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{π + 12 \cdot π}{12}$

Etapa 8.3.2.4.2

Some $π$ e $12 π$ .

$\frac{13 π}{12}$

Etapa 8.3.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{13 π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}, \frac{13 π}{12}$

Etapa 8.4

Substitua $1$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

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Etapa 8.4.1

Substitua $1$ por $n$ .

$\frac{11 π}{12} + π (1)$

Etapa 8.4.2

Simplifique.

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Etapa 8.4.2.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$\frac{11 π}{12} + π$

Etapa 8.4.2.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$\frac{11 π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

Etapa 8.4.2.3

Combine frações.

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Etapa 8.4.2.3.1

Combine $π$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{11 π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

Etapa 8.4.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{11 π + π \cdot 12}{12}$

Etapa 8.4.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.4.2.4.1

Mova $12$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{11 π + 12 \cdot π}{12}$

Etapa 8.4.2.4.2

Some $11 π$ e $12 π$ .

$\frac{23 π}{12}$

Etapa 8.4.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{23 π}{12}$ .

$θ = \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{23 π}{12}$