Trigonometria Exemplos

$\sec (\frac{3 θ}{2}) = - 2$ , $[0, 2 π)$

Etapa 1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da secante.

$\frac{3 θ}{2} = arcsec (- 2)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O valor exato de $arcsec (- 2)$ é $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{3 θ}{2} = \frac{2 π}{3}$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Simplifique $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 4.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 4.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 4.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 4.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$θ = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Etapa 5

A função secante é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$\frac{3 θ}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Etapa 6

Resolva $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Etapa 6.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Simplifique $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Etapa 6.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Etapa 6.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Etapa 6.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Etapa 6.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique $\frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2}{3} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Etapa 6.2.2.1.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2}{3} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Etapa 6.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Subtraia $2 π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$

Etapa 6.2.2.1.4

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.4.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{4 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{3 \cdot 3}$

Etapa 6.2.2.1.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$θ = \frac{8 π}{3 \cdot 3}$

Etapa 6.2.2.1.4.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$θ = \frac{8 π}{9}$

Etapa 7

Encontre o período de $\sec (\frac{3 θ}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.2

Substitua $b$ por $\frac{3}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Etapa 7.3

$\frac{3}{2}$ é aproximadamente $1.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{2}{3}$

Etapa 7.5

Multiplique $2 π \frac{2}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Etapa 7.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Etapa 7.5.3

Combine $\frac{4}{3}$ e $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Etapa 8

O período da função $\sec (\frac{3 θ}{2})$ é $\frac{4 π}{3}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{4 π}{3}$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{4 π}{9} + \frac{4 π n}{3}, \frac{8 π}{9} + \frac{4 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Encontre os valores de $n$ que produzem um valor dentro do intervalo $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Substitua $0$ por $n$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π (0)}{3}$

Etapa 9.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1.1.1

Fatore $3$ de $4 π (0)$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3}$

Etapa 9.1.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Etapa 9.1.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Etapa 9.1.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot (0)}{1}$

Etapa 9.1.2.1.1.2.4

Divida $4 π \cdot (0)$ por $1$ .

$\frac{4 π}{9} + 4 π \cdot (0)$

Etapa 9.1.2.1.2

Multiplique $4 π (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1.2.1

Multiplique $0$ por $4$ .

$\frac{4 π}{9} + 0 π$

Etapa 9.1.2.1.2.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$\frac{4 π}{9} + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $\frac{4 π}{9}$ e $0$ .

$\frac{4 π}{9}$

Etapa 9.1.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{4 π}{9}$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Etapa 9.2

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Substitua $0$ por $n$ .

$\frac{8 π}{9} + \frac{4 π (0)}{3}$

Etapa 9.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1.1.1

Fatore $3$ de $4 π (0)$ .

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3}$

Etapa 9.2.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Etapa 9.2.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Etapa 9.2.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8 π}{9} + \frac{4 π \cdot (0)}{1}$

Etapa 9.2.2.1.1.2.4

Divida $4 π \cdot (0)$ por $1$ .

$\frac{8 π}{9} + 4 π \cdot (0)$

Etapa 9.2.2.1.2

Multiplique $4 π (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1.2.1

Multiplique $0$ por $4$ .

$\frac{8 π}{9} + 0 π$

Etapa 9.2.2.1.2.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$\frac{8 π}{9} + 0$

Etapa 9.2.2.2

Some $\frac{8 π}{9}$ e $0$ .

$\frac{8 π}{9}$

Etapa 9.2.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{8 π}{9}$ .

$θ = \frac{4 π}{9}, \frac{8 π}{9}$

Etapa 9.3

Substitua $1$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Substitua $1$ por $n$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π (1)}{3}$

Etapa 9.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π}{3}$

Etapa 9.3.2.2

Para escrever $\frac{4 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 9.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.3.1

Multiplique $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Etapa 9.3.2.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot 3}{9}$

Etapa 9.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 π + 4 π \cdot 3}{9}$

Etapa 9.3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.5.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{4 π + 12 π}{9}$

Etapa 9.3.2.5.2

Some $4 π$ e $12 π$ .

$\frac{16 π}{9}$

Etapa 9.3.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{16 π}{9}$ .

$θ = \frac{4 π}{9}, \frac{8 π}{9}, \frac{16 π}{9}$