Trigonometria Exemplos

$y = 4 \cos (\frac{3 θ}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $4$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $4 \cos (\frac{3 θ}{2})$ em relação a $θ$ é $4 \frac{d}{d θ} [\cos (\frac{3 θ}{2})]$ .

$4 \frac{d}{d θ} [\cos (\frac{3 θ}{2})]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \cos (θ)$ e $g (θ) = \frac{3 θ}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{3 θ}{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{3 θ}{2}$ .

$4 (- \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 (\sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Etapa 1.3.2

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $\frac{3 θ}{2}$ em relação a $θ$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$- 4 \sin (\frac{3 θ}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ])$

Etapa 1.3.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 4$ .

$\frac{3 \cdot - 4}{2} \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

Etapa 1.3.3.2

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$\frac{- 12}{2} \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

Etapa 1.3.3.3

Combine $\frac{- 12}{2}$ e $\sin (\frac{3 θ}{2})$ .

$\frac{- 12 \sin (\frac{3 θ}{2})}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$

Etapa 1.3.3.4

Cancele o fator comum de $- 12$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.4.1

Fatore $2$ de $- 12 \sin (\frac{3 θ}{2})$ .

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$

Etapa 1.3.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d θ} [θ]$

Etapa 1.3.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d θ} [θ]$

Etapa 1.3.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{1} \frac{d}{d θ} [θ]$

Etapa 1.3.3.4.2.4

Divida $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$ por $1$ .

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) \cdot 1$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$ em relação a $θ$ é $- 6 \frac{d}{d θ} [\sin (\frac{3 θ}{2})]$ .

$f'' (θ) = - 6 \frac{d}{d θ} \sin (\frac{3 θ}{2})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \sin (θ)$ e $g (θ) = \frac{3 θ}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{3 θ}{2}$ .

$f'' (θ) = - 6 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (θ) = - 6 (\cos (u) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{3 θ}{2}$ .

$f'' (θ) = - 6 (\cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $\frac{3 θ}{2}$ em relação a $θ$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$f'' (θ) = - 6 \cos (\frac{3 θ}{2}) (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ))$

Etapa 2.3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 6$ .

$f'' (θ) = \frac{3 \cdot - 6}{2} \cdot \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (θ)$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $3$ por $- 6$ .

$f'' (θ) = \frac{- 18}{2} \cdot \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (θ)$

Etapa 2.3.2.3

Combine $\frac{- 18}{2}$ e $\cos (\frac{3 θ}{2})$ .

$f'' (θ) = \frac{- 18 \cos (\frac{3 θ}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Etapa 2.3.2.4

Cancele o fator comum de $- 18$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.4.1

Fatore $2$ de $- 18 \cos (\frac{3 θ}{2})$ .

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Etapa 2.3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2 (1)} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Etapa 2.3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2 \cdot 1} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Etapa 2.3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (θ) = \frac{- 9 \cos (\frac{3 θ}{2})}{1} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Etapa 2.3.2.4.2.4

Divida $- 9 \cos (\frac{3 θ}{2})$ por $1$ .

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} θ$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2}) \cdot 1$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2})$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$ por $- 6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Divida cada termo em $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $\sin (\frac{3 θ}{2})$ por $1$ .

$\sin (\frac{3 θ}{2}) = \frac{0}{- 6}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $- 6$ .

$\sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$

Etapa 5

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$\frac{3 θ}{2} = \arcsin (0)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$\frac{3 θ}{2} = 0$

Etapa 7

Defina o numerador como igual a zero.

$3 θ = 0$

Etapa 8

Divida cada termo em $3 θ = 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida cada termo em $3 θ = 0$ por $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{0}{3}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$θ = 0$

Etapa 9

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{3 θ}{2} = π - 0$

Etapa 10

Resolva $θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 10.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1

Simplifique $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 10.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 10.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 10.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 10.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 10.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Simplifique $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$θ = \frac{2}{3} π$

Etapa 10.2.2.1.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Etapa 11

A solução para a equação $\frac{3 θ}{2} = 0$ .

$θ = 0, \frac{2 π}{3}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $θ = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 9 \cos (\frac{3 (0)}{2})$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Fatore $2$ de $3 (0)$ .

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

Etapa 13.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

Etapa 13.1.2.2

Cancele o fator comum.

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

Etapa 13.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- 9 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

Etapa 13.1.2.4

Divida $3 \cdot (0)$ por $1$ .

$- 9 \cos (3 \cdot (0))$

Etapa 13.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$- 9 \cos (0)$

Etapa 13.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 9 \cdot 1$

Etapa 13.4

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$- 9$

Etapa 14

$θ = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$θ = 0$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $θ = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $θ$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 4 \cos (\frac{3 (0)}{2})$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Fatore $2$ de $3 (0)$ .

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

Etapa 15.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

Etapa 15.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

Etapa 15.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (0) = 4 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

Etapa 15.2.1.2.4

Divida $3 \cdot (0)$ por $1$ .

$f (0) = 4 \cos (3 \cdot (0))$

Etapa 15.2.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (0) = 4 \cos (0)$

Etapa 15.2.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = 4 \cdot 1$

Etapa 15.2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$f (0) = 4$

Etapa 15.2.5

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $θ = \frac{2 π}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 9 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Combine $3$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Etapa 17.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

Etapa 17.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.3.1

Reduza a expressão $\frac{6 π}{3}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.3.1.1

Fatore $3$ de $6 π$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Etapa 17.3.1.2

Fatore $3$ de $3$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

Etapa 17.3.1.3

Cancele o fator comum.

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

Etapa 17.3.1.4

Reescreva a expressão.

$- 9 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

Etapa 17.3.2

Divida $2 π$ por $1$ .

$- 9 \cos (\frac{2 π}{2})$

Etapa 17.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.4.1

Cancele o fator comum.

$- 9 \cos (\frac{2 π}{2})$

Etapa 17.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$- 9 \cos (π)$

Etapa 17.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 9 (- \cos (0))$

Etapa 17.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 9 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 17.7

Multiplique $- 9 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 9 \cdot - 1$

Etapa 17.7.2

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$9$

Etapa 18

$θ = \frac{2 π}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$θ = \frac{2 π}{3}$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $θ = \frac{2 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $θ$ por $\frac{2 π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Combine $3$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Etapa 19.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

Etapa 19.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.3.1

Reduza a expressão $\frac{6 π}{3}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.3.1.1

Fatore $3$ de $6 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Etapa 19.2.3.1.2

Fatore $3$ de $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

Etapa 19.2.3.1.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

Etapa 19.2.3.1.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

Etapa 19.2.3.2

Divida $2 π$ por $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 π}{2})$

Etapa 19.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 π}{2})$

Etapa 19.2.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (π)$

Etapa 19.2.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (- \cos (0))$

Etapa 19.2.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 19.2.7

Multiplique $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot - 1$

Etapa 19.2.7.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 4$

Etapa 19.2.8

A resposta final é $- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (θ) = 4 \cos (\frac{3 θ}{2})$ .

$(0, 4)$ é um máximo local

$(\frac{2 π}{3}, - 4)$ é um mínimo local

Etapa 21