Trigonometria Exemplos

$y = \cos (x - \frac{π}{8})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x - \frac{π}{8}$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - \frac{π}{8}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{8}]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{8}]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - \frac{π}{8}$ .

$- \sin (x - \frac{π}{8}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{8}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \frac{π}{8}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{8}]$ .

$- \sin (x - \frac{π}{8}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{8}])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \sin (x - \frac{π}{8}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{8}])$

Etapa 1.2.3

Como $- \frac{π}{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{π}{8}$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \sin (x - \frac{π}{8}) (1 + 0)$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$- \sin (x - \frac{π}{8}) \cdot 1$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \sin (x - \frac{π}{8})$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x - \frac{π}{8})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x - \frac{π}{8})]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x - \frac{π}{8})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x - \frac{π}{8}$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - \frac{π}{8}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{8}))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - (\cos (u) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{8}))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - \frac{π}{8}$ .

$f'' (x) = - (\cos (x - \frac{π}{8}) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{8}))$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \frac{π}{8}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{8}]$ .

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{8}))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8}) (1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{8}))$

Etapa 2.3.3

Como $- \frac{π}{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{π}{8}$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8}) (1 + 0)$

Etapa 2.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8}) \cdot 1$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \cos (x - \frac{π}{8})$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \sin (x - \frac{π}{8}) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $- \sin (x - \frac{π}{8}) = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $- \sin (x - \frac{π}{8}) = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x - \frac{π}{8})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x - \frac{π}{8})}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.2.2

Divida $\sin (x - \frac{π}{8})$ por $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{8}) = \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$\sin (x - \frac{π}{8}) = 0$

Etapa 5

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x - \frac{π}{8} = \arcsin (0)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x - \frac{π}{8} = 0$

Etapa 7

Some $\frac{π}{8}$ aos dois lados da equação.

$x = \frac{π}{8}$

Etapa 8

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x - \frac{π}{8} = π - 0$

Etapa 9

Resolva $x$ .

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Etapa 9.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$x - \frac{π}{8} = π$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Some $\frac{π}{8}$ aos dois lados da equação.

$x = π + \frac{π}{8}$

Etapa 9.2.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$x = π \cdot \frac{8}{8} + \frac{π}{8}$

Etapa 9.2.3

Combine $π$ e $\frac{8}{8}$ .

$x = \frac{π \cdot 8}{8} + \frac{π}{8}$

Etapa 9.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 8 + π}{8}$

Etapa 9.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.5.1

Mova $8$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{8 \cdot π + π}{8}$

Etapa 9.2.5.2

Some $8 π$ e $π$ .

$x = \frac{9 π}{8}$

Etapa 10

A solução para a equação $x - \frac{π}{8} = 0$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{9 π}{8}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{8}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \cos ((\frac{π}{8}) - \frac{π}{8})$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 12.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \cos (\frac{π - π}{8})$

Etapa 12.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$- \cos (\frac{0}{8})$

Etapa 12.3

Divida $0$ por $8$ .

$- \cos (0)$

Etapa 12.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 12.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 13

$x = \frac{π}{8}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{8}$ é um máximo local

Etapa 14

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{8}$ .

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Etapa 14.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{8}$ na expressão.

$f (\frac{π}{8}) = \cos ((\frac{π}{8}) - \frac{π}{8})$

Etapa 14.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{8}) = \cos (\frac{π - π}{8})$

Etapa 14.2.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$f (\frac{π}{8}) = \cos (\frac{0}{8})$

Etapa 14.2.3

Divida $0$ por $8$ .

$f (\frac{π}{8}) = \cos (0)$

Etapa 14.2.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = 1$

Etapa 14.2.5

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{9 π}{8}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \cos ((\frac{9 π}{8}) - \frac{π}{8})$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 16.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \cos (\frac{9 π - π}{8})$

Etapa 16.2

Subtraia $π$ de $9 π$ .

$- \cos (\frac{8 π}{8})$

Etapa 16.3

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 16.3.1

Cancele o fator comum.

$- \cos (\frac{8 π}{8})$

Etapa 16.3.2

Divida $π$ por $1$ .

$- \cos (π)$

Etapa 16.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- - \cos (0)$

Etapa 16.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Etapa 16.6

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 16.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- - 1$

Etapa 16.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1$

Etapa 17

$x = \frac{9 π}{8}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{9 π}{8}$ é um mínimo local

Etapa 18

Encontre o valor y quando $x = \frac{9 π}{8}$ .

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Etapa 18.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{9 π}{8}$ na expressão.

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos ((\frac{9 π}{8}) - \frac{π}{8})$

Etapa 18.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 18.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos (\frac{9 π - π}{8})$

Etapa 18.2.2

Subtraia $π$ de $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos (\frac{8 π}{8})$

Etapa 18.2.3

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 18.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos (\frac{8 π}{8})$

Etapa 18.2.3.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (\frac{9 π}{8}) = \cos (π)$

Etapa 18.2.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{9 π}{8}) = - \cos (0)$

Etapa 18.2.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{9 π}{8}) = - 1 \cdot 1$

Etapa 18.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{9 π}{8}) = - 1$

Etapa 18.2.7

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 19

Esses são os extremos locais para $f (x) = \cos (x - \frac{π}{8})$ .

$(\frac{π}{8}, 1)$ é um máximo local

$(\frac{9 π}{8}, - 1)$ é um mínimo local

Etapa 20