Trigonometria Exemplos

$(\sin (θ) - \cos (θ)) - {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Etapa 1

Reescreva ${(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$ como $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ))$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - ((\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ)))$

Etapa 2

Expanda $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ))$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)) + \cos (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)))$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)))$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ))$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Multiplique $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Etapa 3.1.1.1

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ))$

Etapa 3.1.1.2

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ))$

Etapa 3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (θ) - \cos (θ) - ({\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ))$

Etapa 3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ))$

Etapa 3.1.2

Multiplique $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Etapa 3.1.2.1

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos (θ))$

Etapa 3.1.2.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ))$

Etapa 3.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + {\cos (θ)}^{1 + 1})$

Etapa 3.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ))$

Etapa 3.2

Reordene os fatores de $\sin (θ) \cos (θ)$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ))$

Etapa 3.3

Some $\cos (θ) \sin (θ)$ e $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + 2 \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ))$

Etapa 4

Mova $\cos^{2} (θ)$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) + 2 \cos (θ) \sin (θ))$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\sin (θ) - \cos (θ) - (1 + 2 \cos (θ) \sin (θ))$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Reordene $2 \cos (θ)$ e $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (1 + \sin (θ) (2 \cos (θ)))$

Etapa 6.2

Reordene $\sin (θ)$ e $2$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - (1 + 2 \cdot \sin (θ) \cos (θ))$

Etapa 6.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (θ) - \cos (θ) - (1 + \sin (2 θ))$

Etapa 7

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (θ) - \cos (θ) - 1 \cdot 1 - \sin (2 θ)$

Etapa 8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) - 1 - \sin (2 θ)$