Trigonometria Exemplos

$y = e^{x - 1}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = e^{y - 1}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $e^{y - 1} = x$ .

$e^{y - 1} = x$

Etapa 2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (x)$

Etapa 2.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.1

Expanda $\ln (e^{y - 1})$ movendo $y - 1$ para fora do logaritmo.

$(y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

Etapa 2.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $y - 1$ por $1$ .

$y - 1 = \ln (x)$

Etapa 2.4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = \ln (x) + 1$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ é o inverso de $f (x) = e^{x - 1}$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (e^{x - 1})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = \ln (e^{x - 1}) + 1$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.3.1

Use as regras logarítmicas para mover $x - 1$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \ln (e) + 1$

Etapa 4.2.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Etapa 4.2.3.3

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x - 1 + 1$

Etapa 4.2.4

Combine os termos opostos em $x - 1 + 1$ .

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Etapa 4.2.4.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x + 0$

Etapa 4.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\ln (x) + 1)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{(\ln (x) + 1) - 1}$

Etapa 4.3.3

Combine os termos opostos em $(\ln (x) + 1) - 1$ .

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Etapa 4.3.3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x) + 0}$

Etapa 4.3.3.2

Some $\ln (x)$ e $0$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x)}$

Etapa 4.3.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (x) + 1) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ é o inverso de $f (x) = e^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$