Trigonometria Exemplos

$y = \sqrt{4 - x} + 1$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{4 - y} + 1$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\sqrt{4 - y} + 1 = x$ .

$\sqrt{4 - y} + 1 = x$

Etapa 2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{4 - y} = x - 1$

Etapa 2.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{4 - y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 2.4

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 - y}$ como ${(4 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique ${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 2.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(4 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 2.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(4 - y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 2.4.2.1.2

Simplifique.

$4 - y = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Simplifique ${(x - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$4 - y = (x - 1) (x - 1)$

Etapa 2.4.3.1.2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 - y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Etapa 2.4.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 - y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Etapa 2.4.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 - y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.4.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 - y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.4.3.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$4 - y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.4.3.1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$4 - y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.4.3.1.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$4 - y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.4.3.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$4 - y = x^{2} - x - x + 1$

Etapa 2.4.3.1.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$4 - y = x^{2} - 2 x + 1$

Etapa 2.5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- y = x^{2} - 2 x + 1 - 4$

Etapa 2.5.1.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$- y = x^{2} - 2 x - 3$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $- y = x^{2} - 2 x - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $- y = x^{2} - 2 x - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 2 x}{- 1}$ .

$y = - x^{2} - 1 \cdot (- 2 x) + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot (- 2 x)$ como $- (- 2 x)$ .

$y = - x^{2} - (- 2 x) + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y = - x^{2} + 2 x + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.6

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$y = - x^{2} + 2 x + 3$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{4 - x} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - {(\sqrt{4 - x} + 1)}^{2} + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Reescreva ${(\sqrt{4 - x} + 1)}^{2}$ como $(\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ((\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.2

Expanda $(\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} (\sqrt{4 - x} + 1) + 1 (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1.1

Multiplique $\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1.1.1

Eleve $\sqrt{4 - x}$ à potência de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.3.1.1.2

Eleve $\sqrt{4 - x}$ à potência de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({\sqrt{4 - x}}^{1 + 1} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({\sqrt{4 - x}}^{2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.3.1.2

Reescreva ${\sqrt{4 - x}}^{2}$ como $4 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 - x}$ como ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.3.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ((4 - x) + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.3.1.2.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.3.1.3

Multiplique $\sqrt{4 - x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.3.1.4

Multiplique $\sqrt{4 - x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.3.1.5

Multiplique $1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.3.2

Some $4$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (5 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.3.3

Some $\sqrt{4 - x}$ e $\sqrt{4 - x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (5 - x + 2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 1 \cdot 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.5.2

Multiplique $- - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + 1 x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.5.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Etapa 4.2.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 \cdot 1 + 3$

Etapa 4.2.3.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 + 3$

Etapa 4.2.4

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Combine os termos opostos em $- 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1.1

Some $- 2 \sqrt{4 - x}$ e $2 \sqrt{4 - x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x + 0 + 2 + 3$

Etapa 4.2.4.1.2

Some $- 5 + x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x + 2 + 3$

Etapa 4.2.4.2

Some $- 5$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x - 3 + 3$

Etapa 4.2.4.3

Combine os termos opostos em $x - 3 + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.3.1

Some $- 3$ e $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x + 0$

Etapa 4.2.4.3.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (- x^{2} + 2 x + 3)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 - (- x^{2} + 2 x + 3)} + 1$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

Etapa 4.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Multiplique $- - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + 1 x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

Etapa 4.3.3.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

Etapa 4.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - 2 x - 1 \cdot 3} + 1$

Etapa 4.3.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - 2 x - 3} + 1$

Etapa 4.3.3.3

Subtraia $3$ de $4$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} + 1$

Etapa 4.3.3.4

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}} + 1$

Etapa 4.3.3.4.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 4.3.3.4.3

Reescreva o polinômio.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + 1$

Etapa 4.3.3.4.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{{(x - 1)}^{2}} + 1$

Etapa 4.3.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x - 1 + 1$

Etapa 4.3.4

Combine os termos opostos em $x - 1 + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x + 0$

Etapa 4.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{4 - x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$