Trigonometria Exemplos

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \frac{1}{81}$

Etapa 1

Esta é uma progressão geométrica, pois existe uma razão comum entre cada termo. Nesse caso, multiplicar o termo anterior na progressão por $- \frac{1}{3}$ resulta no próximo termo. Em outras palavras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressão geométrica: $r = - \frac{1}{3}$

Etapa 2

Esta é a forma de uma progressão geométrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Etapa 3

Substitua os valores de $a_{1} = 1$ e $r = - \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 1 {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Etapa 4

Multiplique ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ por $1$ .

$a_{n} = {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 5.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Etapa 5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Etapa 6

Um elevado a qualquer potência é um.

$a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{3^{n - 1}}$

Etapa 7

Combine ${(- 1)}^{n - 1}$ e $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Etapa 8

Esta é a fórmula para encontrar a soma dos $n$ primeiros termos da progressão geométrica. Para avaliá-la, encontre os valores de $r$ e $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Etapa 9

Substitua as variáveis pelos valores conhecidos para encontrar $S_{5}$ .

$S_{5} = 1 \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Etapa 10

Multiplique $\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ por $1$ .

$S_{5} = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Etapa 11

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Etapa 11.1

Multiplique $\frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(- \frac{1}{3})}^{5} - 1}{- \frac{1}{3} - 1}$

Etapa 11.2

Combine.

$S_{5} = \frac{3 ({(- \frac{1}{3})}^{5} - 1)}{3 (- \frac{1}{3} - 1)}$

Etapa 12

Aplique a propriedade distributiva.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (- \frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Etapa 13

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{3}$ para o numerador.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$S_{5} = \frac{3 {(- \frac{1}{3})}^{5} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 14.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{1}{3})}^{5}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$S_{5} = \frac{3 ({(- 1)}^{5} (\frac{1^{5}}{3^{5}})) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14.2

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$S_{5} = \frac{3 (- \frac{1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 14.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1^{5}}{3^{5}}$ para o numerador.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3^{5}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14.3.2

Fatore $3$ de $3^{5}$ .

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14.3.3

Cancele o fator comum.

$S_{5} = \frac{3 (\frac{- 1^{5}}{3 \cdot 3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14.3.4

Reescreva a expressão.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1^{5}}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{3^{4}} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14.5

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + 3 \cdot - 1}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14.9

Para escrever $- 3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{81}{81}$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} - 3 \cdot \frac{81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14.10

Combine $- 3$ e $\frac{81}{81}$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{1}{81} + \frac{- 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 3 \cdot 81}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.12.1

Multiplique $- 3$ por $81$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 1 - 243}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14.12.2

Subtraia $243$ de $- 1$ .

$S_{5} = \frac{\frac{- 244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 14.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 + 3 \cdot - 1}$

Etapa 15

Simplifique o denominador.

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Etapa 15.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 1 - 3}$

Etapa 15.2

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- \frac{244}{81}}{- 4}$

Etapa 16

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$S_{5} = - \frac{244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Etapa 17

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 17.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{244}{81}$ para o numerador.

$S_{5} = \frac{- 244}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Etapa 17.2

Fatore $4$ de $- 244$ .

$S_{5} = \frac{4 (- 61)}{81} \cdot \frac{1}{- 4}$

Etapa 17.3

Fatore $4$ de $- 4$ .

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Etapa 17.4

Cancele o fator comum.

$S_{5} = \frac{4 \cdot - 61}{81} \cdot \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Etapa 17.5

Reescreva a expressão.

$S_{5} = \frac{- 61}{81} \cdot \frac{1}{- 1}$

Etapa 18

Multiplique $\frac{- 61}{81}$ por $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{5} = \frac{- 61}{81 \cdot - 1}$

Etapa 19

Multiplique $81$ por $- 1$ .

$S_{5} = \frac{- 61}{- 81}$

Etapa 20

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$S_{5} = \frac{61}{81}$