Trigonometria Exemplos

$f (x) = 3 \sin (x) - 2$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 3 \sin (x) - 2$ como uma equação.

$y = 3 \sin (x) - 2$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 3 \sin (y) - 2$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $3 \sin (y) - 2 = x$ .

$3 \sin (y) - 2 = x$

Etapa 3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$3 \sin (y) = x + 2$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $3 \sin (y) = x + 2$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $3 \sin (y) = x + 2$ por $3$ .

$\frac{3 \sin (y)}{3} = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sin (y)}{3} = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $\sin (y)$ por $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 3.4

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do seno.

$y = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$ é o inverso de $f (x) = 3 \sin (x) - 2$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (3 \sin (x) - 2)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x) - 2}{3} + \frac{2}{3})$

Etapa 5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x) - 2 + 2}{3})$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $3 \sin (x) - 2 + 2$ .

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Etapa 5.2.4.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x) + 0}{3})$

Etapa 5.2.4.2

Some $3 \sin (x)$ e $0$ .

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x)}{3})$

Etapa 5.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\frac{3 \sin (x)}{3})$

Etapa 5.2.5.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 \sin (x) - 2) = \arcsin (\sin (x))$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3}))$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = 3 \sin (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) - 2$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

As funções seno e arco seno são inversos.

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = 3 (\frac{x}{3} + \frac{2}{3}) - 2$

Etapa 5.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (\frac{2}{3}) - 2$

Etapa 5.3.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 (\frac{2}{3}) - 2$

Etapa 5.3.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x + 3 (\frac{2}{3}) - 2$

Etapa 5.3.3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x + 3 (\frac{2}{3}) - 2$

Etapa 5.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x + 2 - 2$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $x + 2 - 2$ .

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Etapa 5.3.4.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x + 0$

Etapa 5.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$ é o inverso de $f (x) = 3 \sin (x) - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{3} + \frac{2}{3})$