Trigonometria Exemplos

$25 x^{2} + 4 y^{2} + 100 x = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Complete o quadrado de $25 x^{2} + 100 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 25$

$b = 100$

$c = 0$

Etapa 1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{100}{2 \cdot 25}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $100$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $100$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (25)}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 25}$

Etapa 1.1.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{50}{25}$

Etapa 1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $50$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.1

Fatore $25$ de $50$ .

$d = \frac{25 \cdot 2}{25}$

Etapa 1.1.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.2.2.1

Fatore $25$ de $25$ .

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 (1)}$

Etapa 1.1.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{25 \cdot 2}{25 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{2}{1}$

Etapa 1.1.3.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$d = 2$

Etapa 1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot 25}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.1

Eleve $100$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Etapa 1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Etapa 1.1.4.2.1.3

Divida $10000$ por $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Etapa 1.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $100$ .

$e = 0 - 100$

Etapa 1.1.4.2.2

Subtraia $100$ de $0$ .

$e = - 100$

Etapa 1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 100$

Etapa 1.2

Substitua $25 {(x + 2)}^{2} - 100$ por $25 x^{2} + 100 x$ na equação $25 x^{2} + 4 y^{2} + 100 x = 0$ .

$25 {(x + 2)}^{2} - 100 + 4 y^{2} = 0$

Etapa 1.3

Mova $- 100$ para o lado direito da equação, somando $100$ aos dois lados.

$25 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} = 0 + 100$

Etapa 1.4

Some $0$ e $100$ .

$25 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} = 100$

Etapa 1.5

Divida cada termo por $100$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{25 {(x + 2)}^{2}}{100} + \frac{4 y^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 5$

$b = 2$

$k = 0$

$h = - 2$

Etapa 4

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 - {(2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\sqrt{25 - 4}$

Etapa 4.3.4

Subtraia $4$ de $25$ .

$\sqrt{21}$

Etapa 5

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 5.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- 2, 0 + \sqrt{21})$

Etapa 5.3

Simplifique.

$(- 2, \sqrt{21})$

Etapa 5.4

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 5.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- 2, 0 - (\sqrt{21}))$

Etapa 5.6

Simplifique.

$(- 2, - \sqrt{21})$

Etapa 5.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(- 2, \sqrt{21})$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, - \sqrt{21})$

${Focus}_{1}$ : $(- 2, \sqrt{21})$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, - \sqrt{21})$

Etapa 6