Trigonometria Exemplos

$f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 \sin (x - 0.5) + 11$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 \sin (x - 0.5)$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x - 0.5$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 0.5$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$- 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 0.5$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 0.5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.2.5

Como $- 0.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 0.5$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.2.6

Some $1$ e $0$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.2.7

Multiplique $\cos (x - 0.5)$ por $1$ .

$- 4 \cos (x - 0.5) + \frac{d}{d x} [11]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.3.1

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 \cos (x - 0.5) + 0$

Etapa 1.3.2

Some $- 4 \cos (x - 0.5)$ e $0$ .

$- 4 \cos (x - 0.5)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 \cos (x - 0.5)$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x - 0.5)]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \cos (x - 0.5)$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x - 0.5$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 0.5$ .

$f'' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 0.5$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = 4 (\sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 0.5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

Etapa 2.3.4

Como $- 0.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 0.5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + 0)$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) \cdot 1$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 4 \cos (x - 0.5) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $\cos (x - 0.5)$ por $1$ .

$\cos (x - 0.5) = \frac{0}{- 4}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $- 4$ .

$\cos (x - 0.5) = 0$

Etapa 5

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x - 0.5 = \arccos (0)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x - 0.5 = \frac{π}{2}$

Etapa 7

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.1

Some $0.5$ aos dois lados da equação.

$x = \frac{π}{2} + 0.5$

Etapa 7.2

Some $\frac{π}{2}$ e $0.5$ .

$x = 2.07079632$

Etapa 8

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x - 0.5 = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 9

Resolva $x$ .

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Etapa 9.1

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 9.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x - 0.5 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.1.2

Combine frações.

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Etapa 9.1.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 9.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x - 0.5 = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 9.1.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x - 0.5 = \frac{3 π}{2}$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Some $0.5$ aos dois lados da equação.

$x = \frac{3 π}{2} + 0.5$

Etapa 9.2.2

Some $\frac{3 π}{2}$ e $0.5$ .

$x = 5.21238898$

Etapa 10

A solução para a equação $x - 0.5 = \frac{π}{2}$ .

$x = 2.07079632, 5.21238898$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = 2.07079632$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 \sin ((2.07079632) - 0.5)$

Etapa 12

Subtraia $0.5$ de $2.07079632$ .

$4 \sin (1.57079632)$

Etapa 13

$x = 2.07079632$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2.07079632$ é um mínimo local

Etapa 14

Encontre o valor y quando $x = 2.07079632$ .

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Etapa 14.1

Substitua a variável $x$ por $2.07079632$ na expressão.

$f (2.07079632) = - 4 \sin ((2.07079632) - 0.5) + 11$

Etapa 14.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.2.1

Subtraia $0.5$ de $2.07079632$ .

$f (2.07079632) = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

Etapa 14.2.2

A resposta final é $- 4 \sin (1.57079632) + 11$ .

$y = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada em $x = 5.21238898$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 \sin ((5.21238898) - 0.5)$

Etapa 16

Subtraia $0.5$ de $5.21238898$ .

$4 \sin (4.71238898)$

Etapa 17

$x = 5.21238898$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 5.21238898$ é um máximo local

Etapa 18

Encontre o valor y quando $x = 5.21238898$ .

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Etapa 18.1

Substitua a variável $x$ por $5.21238898$ na expressão.

$f (5.21238898) = - 4 \sin ((5.21238898) - 0.5) + 11$

Etapa 18.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 18.2.1

Subtraia $0.5$ de $5.21238898$ .

$f (5.21238898) = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

Etapa 18.2.2

A resposta final é $- 4 \sin (4.71238898) + 11$ .

$y = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

Etapa 19

Esses são os extremos locais para $f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$ .

$(2.07079632, - 4 \sin (1.57079632) + 11)$ é um mínimo local

$(5.21238898, - 4 \sin (4.71238898) + 11)$ é um máximo local

Etapa 20