Trigonometria Exemplos

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\begin{matrix} Side & Angle \begin{matrix} b = & 23 c = a = & 14 \end{matrix} & \begin{matrix} A = B = & 105 C = \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 23 \\ c = \\ a = & 14 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 105 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Etapa 1

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

\frac{sin (A)}{a} = \frac{sin (B)}{b} = \frac{sin (C)}{c}

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 2

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar

A

$A$ .

\frac{sin (A)}{14} = \frac{sin (105)}{23}

$\frac{\sin (A)}{14} = \frac{\sin (105)}{23}$

Etapa 3

Resolva a equação para

A

$A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por

14

$14$ .

14 \frac{sin (A)}{14} = 14 \frac{sin (105)}{23}

$14 \frac{\sin (A)}{14} = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de

14

$14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$14 \frac{\sin (A)}{14} = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique

$14 \frac{\sin (105)}{23}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

O valor exato de

$\sin (105)$ é

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (75)}{23}$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Divida

$75$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (30 + 45)}{23}$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{23}$

Etapa 3.2.2.1.1.4

O valor exato de

$\sin (30)$ é

$\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{23}$

Etapa 3.2.2.1.1.5

O valor exato de

$\cos (45)$ é

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{23}$

Etapa 3.2.2.1.1.6

O valor exato de

$\cos (30)$ é

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{23}$

Etapa 3.2.2.1.1.7

O valor exato de

$\sin (45)$ é

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

Etapa 3.2.2.1.1.8

Simplifique

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.8.1.1

Multiplique

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.8.1.1.1

Multiplique

$\frac{1}{2}$ por

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

Etapa 3.2.2.1.1.8.1.1.2

Multiplique

$2$ por

$2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

Etapa 3.2.2.1.1.8.1.2

Multiplique

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.8.1.2.1

Multiplique

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ por

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{23}$

Etapa 3.2.2.1.1.8.1.2.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{23}$

Etapa 3.2.2.1.1.8.1.2.3

Multiplique

$3$ por

$2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{23}$

Etapa 3.2.2.1.1.8.1.2.4

Multiplique

$2$ por

$2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{23}$

Etapa 3.2.2.1.1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{23}$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sin (A) = 14 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{23})$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{23}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Multiplique

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ por

$\frac{1}{23}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 23}$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Multiplique

$4$ por

$23$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{92}$

Etapa 3.2.2.1.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.4.1

Fatore

$2$ de

$14$ .

$\sin (A) = 2 (7) \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{92}$

Etapa 3.2.2.1.4.2

Fatore

$2$ de

$92$ .

$\sin (A) = 2 \cdot 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 46}$

Etapa 3.2.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$\sin (A) = 2 \cdot 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 46}$

Etapa 3.2.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{46}$

Etapa 3.2.2.1.5

Combine

$7$ e

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{46}$ .

$\sin (A) = \frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46}$

Etapa 3.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair

$A$ de dentro do seno.

$A = \arcsin (\frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46})$

Etapa 3.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Avalie

$\arcsin (\frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46})$ .

$A = 36.01201213$

Etapa 3.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de

$180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$A = 180 - 36.01201213$

Etapa 3.6

Subtraia

$36.01201213$ de

$180$ .

$A = 143.98798786$

Etapa 3.7

A solução para a equação

$A = 36.01201213$ .

$A = 36.01201213, 143.98798786$

Etapa 3.8

Exclua o ângulo inválido.

$A = 36.01201213$

Etapa 4

A soma de todos os ângulos em um triângulo é

$180$ graus.

$36.01201213 + C + 105 = 180$

Etapa 5

Resolva a equação para

$C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Some

$36.01201213$ e

$105$ .

$C + 141.01201213 = 180$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm

$C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia

$141.01201213$ dos dois lados da equação.

$C = 180 - 141.01201213$

Etapa 5.2.2

Subtraia

$141.01201213$ de

$180$ .

$C = 38.98798786$

Etapa 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 7

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar

$c$ .

$\frac{\sin (38.98798786)}{c} = \frac{\sin (36.01201213)}{14}$

Etapa 8

Resolva a equação para

$c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Avalie

$\sin (38.98798786)$ .

$\frac{0.62915744}{c} = \frac{\sin (36.01201213)}{14}$

Etapa 8.1.2

Avalie

$\sin (36.01201213)$ .

$\frac{0.62915744}{c} = \frac{0.58795485}{14}$

Etapa 8.1.3

Divida

$0.58795485$ por

$14$ .

$\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$

Etapa 8.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$c, 1$

Etapa 8.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$c$

Etapa 8.3

Multiplique cada termo em

$\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$ por

$c$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique cada termo em

$\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$ por

$c$ .

$\frac{0.62915744}{c} c = 0.04199677 c$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Cancele o fator comum de

$c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.62915744}{c} c = 0.04199677 c$

Etapa 8.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$0.62915744 = 0.04199677 c$

Etapa 8.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Reescreva a equação como

$0.04199677 c = 0.62915744$ .

$0.04199677 c = 0.62915744$

Etapa 8.4.2

Divida cada termo em

$0.04199677 c = 0.62915744$ por

$0.04199677$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1

Divida cada termo em

$0.04199677 c = 0.62915744$ por

$0.04199677$ .

$\frac{0.04199677 c}{0.04199677} = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

Etapa 8.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.2.1

Cancele o fator comum de

$0.04199677$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.04199677 c}{0.04199677} = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

Etapa 8.4.2.2.1.2

Divida

$c$ por

$1$ .

$c = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

Etapa 8.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.3.1

Divida

$0.62915744$ por

$0.04199677$ .

$c = 14.98108954$

Etapa 9

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 36.01201213$

$B = 105$

$C = 38.98798786$

$a = 14$

$b = 23$

$c = 14.98108954$