Trigonometria Exemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 2 \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = & 60 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Etapa 1

Encontre $c$ .

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Etapa 1.1

O seno de um ângulo é igual à razão do lado oposto à hipotenusa.

$\sin (B) = \frac{opp}{hyp}$

Etapa 1.2

Substitua o nome de cada lado na definição da função do seno.

$\sin (B) = \frac{b}{c}$

Etapa 1.3

Estabeleça a equação para resolver a hipotenusa que, nesse caso, é $c$ .

$c = \frac{b}{\sin (B)}$

Etapa 1.4

Substitua os valores de cada variável na fórmula do seno.

$c = \frac{2}{\sin (60)}$

Etapa 1.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$c = 2 (\frac{2}{\sqrt{3}})$

Etapa 1.6

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = 2 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Etapa 1.7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Etapa 1.7.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Etapa 1.7.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Etapa 1.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Etapa 1.7.5

Some $1$ e $1$ .

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

Etapa 1.7.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 1.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 1.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 1.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 1.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 1.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 1.7.6.5

Avalie o expoente.

$c = 2 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 1.8

Multiplique $2 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 1.8.1

Combine $2$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$c = \frac{2 (2 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 1.8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$c = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2

Encontre o último lado do triângulo usando o teorema de Pitágoras.

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Etapa 2.1

Use o teorema de Pitágoras para encontrar o lado desconhecido. Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa (o lado de um triângulo retângulo oposto ao ângulo reto) é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os dois catetos (os dois lados diferentes dos da hipotenusa).

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Etapa 2.2

Resolva a equação para $a$ .

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Etapa 2.3

Substitua os valores reais na equação.

$a = \sqrt{{(\frac{4 \sqrt{3}}{3})}^{2} - {(2)}^{2}}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$a = \sqrt{\frac{{(4 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} - {(2)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Aplique a regra do produto a $4 \sqrt{3}$ .

$a = \sqrt{\frac{4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(2)}^{2}}$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{\frac{16 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(2)}^{2}}$

Etapa 2.5.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \sqrt{\frac{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(2)}^{2}}$

Etapa 2.5.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \sqrt{\frac{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(2)}^{2}}$

Etapa 2.5.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$a = \sqrt{\frac{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(2)}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$a = \sqrt{\frac{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(2)}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.2

Reescreva a expressão.

$a = \sqrt{\frac{16 \cdot 3}{3^{2}} - {(2)}^{2}}$

Etapa 2.5.2.5

Avalie o expoente.

$a = \sqrt{\frac{16 \cdot 3}{3^{2}} - {(2)}^{2}}$

Etapa 2.6

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 2.6.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{\frac{16 \cdot 3}{9} - {(2)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $16$ por $3$ .

$a = \sqrt{\frac{48}{9} - {(2)}^{2}}$

Etapa 2.6.3

Cancele o fator comum de $48$ e $9$ .

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Etapa 2.6.3.1

Fatore $3$ de $48$ .

$a = \sqrt{\frac{3 (16)}{9} - {(2)}^{2}}$

Etapa 2.6.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.6.3.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$a = \sqrt{\frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 3} - {(2)}^{2}}$

Etapa 2.6.3.2.2

Cancele o fator comum.

$a = \sqrt{\frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 3} - {(2)}^{2}}$

Etapa 2.6.3.2.3

Reescreva a expressão.

$a = \sqrt{\frac{16}{3} - {(2)}^{2}}$

Etapa 2.6.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.4.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{\frac{16}{3} - 1 \cdot 4}$

Etapa 2.6.4.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$a = \sqrt{\frac{16}{3} - 4}$

Etapa 2.7

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$a = \sqrt{\frac{16}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 2.8

Combine $- 4$ e $\frac{3}{3}$ .

$a = \sqrt{\frac{16}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}}$

Etapa 2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a = \sqrt{\frac{16 - 4 \cdot 3}{3}}$

Etapa 2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.10.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$a = \sqrt{\frac{16 - 12}{3}}$

Etapa 2.10.2

Subtraia $12$ de $16$ .

$a = \sqrt{\frac{4}{3}}$

Etapa 2.11

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$a = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.12.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$a = \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.12.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$a = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.13

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$a = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.14

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.14.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 2.14.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 2.14.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 2.14.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.14.5

Some $1$ e $1$ .

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.14.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.14.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.14.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.14.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.14.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.14.6.4.1

Cancele o fator comum.

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.14.6.4.2

Reescreva a expressão.

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.14.6.5

Avalie o expoente.

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 30$

$B = 60$

$C = 90$

$a = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$b = 2$

$c = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$