Trigonometria Exemplos

$\frac{13 x + 2}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(3 x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

$\frac{A}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{B}{3 x + 1}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(3 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(13 x + 2) {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(3 x + 1)}^{2}}{3 x + 1}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de ${(3 x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(13 x + 2) {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(3 x + 1)}^{2}}{3 x + 1}$

Etapa 1.4.2

Divida $13 x + 2$ por $1$ .

$13 x + 2 = \frac{(A) {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(3 x + 1)}^{2}}{3 x + 1}$

Etapa 1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de ${(3 x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$13 x + 2 = \frac{A {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(3 x + 1)}^{2}}{3 x + 1}$

Etapa 1.5.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$13 x + 2 = A + \frac{(B) {(3 x + 1)}^{2}}{3 x + 1}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de ${(3 x + 1)}^{2}$ e $3 x + 1$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $3 x + 1$ de $(B) {(3 x + 1)}^{2}$ .

$13 x + 2 = A + \frac{(3 x + 1) (B (3 x + 1))}{3 x + 1}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$13 x + 2 = A + \frac{(3 x + 1) (B (3 x + 1))}{(3 x + 1) \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$13 x + 2 = A + \frac{(3 x + 1) (B (3 x + 1))}{(3 x + 1) \cdot 1}$

Etapa 1.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$13 x + 2 = A + \frac{B (3 x + 1)}{1}$

Etapa 1.5.2.2.4

Divida $B (3 x + 1)$ por $1$ .

$13 x + 2 = A + B (3 x + 1)$

Etapa 1.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$13 x + 2 = A + B (3 x) + B \cdot 1$

Etapa 1.5.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$13 x + 2 = A + 3 B x + B \cdot 1$

Etapa 1.5.5

Multiplique $B$ por $1$ .

$13 x + 2 = A + 3 B x + B$

Etapa 1.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.6.1

Mova $B$ .

$13 x + 2 = A + 3 x B + B$

Etapa 1.6.2

Reordene $A$ e $3 x B$ .

$13 x + 2 = 3 x B + A + B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$13 = 3 B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A + B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$13 = 3 B$

$2 = A + B$

$13 = 3 B$

$2 = A + B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $B$ em $13 = 3 B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $3 B = 13$ .

$3 B = 13$

$2 = A + B$

Etapa 3.1.2

Divida cada termo em $3 B = 13$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Divida cada termo em $3 B = 13$ por $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 B}{3} = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{13}{3}$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $2 = A + B$ por $\frac{13}{3}$ .

$2 = A + \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Remova os parênteses.

$2 = A + \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

Etapa 3.3

Resolva $A$ em $2 = A + \frac{13}{3}$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $A + \frac{13}{3} = 2$ .

$A + \frac{13}{3} = 2$

$B = \frac{13}{3}$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $\frac{13}{3}$ dos dois lados da equação.

$A = 2 - \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

Etapa 3.3.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$A = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

Etapa 3.3.2.3

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$A = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

Etapa 3.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{2 \cdot 3 - 13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

Etapa 3.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.2.5.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$A = \frac{6 - 13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

Etapa 3.3.2.5.2

Subtraia $13$ de $6$ .

$A = \frac{- 7}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

$A = \frac{- 7}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

Etapa 3.3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{7}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

$A = - \frac{7}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

$A = - \frac{7}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

Etapa 3.4

Resolva o sistema de equações.

$A = - \frac{7}{3} B = \frac{13}{3}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{7}{3}, B = \frac{13}{3}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{B}{3 x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{7}{3}}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{\frac{13}{3}}{3 x + 1}$