Trigonometria Exemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 12 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Etapa 1

Encontre o último ângulo do triângulo.

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Etapa 1.1

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$30 + 90 + B = 180$

Etapa 1.2

Resolva a equação para $B$ .

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Etapa 1.2.1

Some $30$ e $90$ .

$120 + B = 180$

Etapa 1.2.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Subtraia $120$ dos dois lados da equação.

$B = 180 - 120$

Etapa 1.2.2.2

Subtraia $120$ de $180$ .

$B = 60$

Etapa 2

Encontre $b$ .

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Etapa 2.1

O cosseno de um ângulo é igual à razão do lado adjacente à hipotenusa.

$\cos (A) = \frac{adj}{hyp}$

Etapa 2.2

Substitua o nome de cada lado na definição da função do cosseno.

$\cos (A) = \frac{b}{c}$

Etapa 2.3

Estabeleça a equação para resolver o lado adjacente que, nesse caso, é $b$ .

$b = c \cdot \cos (A)$

Etapa 2.4

Substitua os valores de cada variável na fórmula do cosseno.

$b = 12 \cdot \cos (30)$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.1

Fatore $2$ de $12$ .

$b = 2 (6) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.2

Cancele o fator comum.

$b = 2 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.3

Reescreva a expressão.

$b = 6 \cdot \sqrt{3}$

$b = 6 \sqrt{3}$

Etapa 3

Encontre o último lado do triângulo usando o teorema de Pitágoras.

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Etapa 3.1

Use o teorema de Pitágoras para encontrar o lado desconhecido. Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa (o lado de um triângulo retângulo oposto ao ângulo reto) é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os dois catetos (os dois lados diferentes dos da hipotenusa).

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Etapa 3.2

Resolva a equação para $a$ .

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Etapa 3.3

Substitua os valores reais na equação.

$a = \sqrt{{(12)}^{2} - {(6 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{144 - {(6 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Aplique a regra do produto a $6 \sqrt{3}$ .

$a = \sqrt{144 - (6^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Etapa 3.4.3

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{144 - (36 {\sqrt{3}}^{2})}$

Etapa 3.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \sqrt{144 - (36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Etapa 3.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Etapa 3.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 3.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.4.1

Cancele o fator comum.

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 3.5.4.2

Reescreva a expressão.

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3)}$

Etapa 3.5.5

Avalie o expoente.

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3)}$

Etapa 3.6

Multiplique $- (36 \cdot 3)$ .

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Etapa 3.6.1

Multiplique $36$ por $3$ .

$a = \sqrt{144 - 1 \cdot 108}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $- 1$ por $108$ .

$a = \sqrt{144 - 108}$

Etapa 3.7

Subtraia $108$ de $144$ .

$a = \sqrt{36}$

Etapa 3.8

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$a = \sqrt{6^{2}}$

Etapa 3.9

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$a = 6$

Etapa 4

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 30$

$B = 60$

$C = 90$

$a = 6$

$b = 6 \sqrt{3}$

$c = 12$