Trigonometria Exemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = \\ a = & 8 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 45 \\ B = & 45 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Etapa 1

Encontre $c$ .

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Etapa 1.1

O cosseno de um ângulo é igual à razão do lado adjacente à hipotenusa.

$\cos (B) = \frac{adj}{hyp}$

Etapa 1.2

Substitua o nome de cada lado na definição da função do cosseno.

$\cos (B) = \frac{a}{c}$

Etapa 1.3

Estabeleça a equação para resolver a hipotenusa que, nesse caso, é $c$ .

$c = \frac{a}{\cos (B)}$

Etapa 1.4

Substitua os valores de cada variável na fórmula do cosseno.

$c = \frac{8}{\cos (45)}$

Etapa 1.5

O valor de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$c = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Etapa 1.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$c = 8 (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Etapa 1.7

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$c = 8 (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Etapa 1.8

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.8.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Etapa 1.8.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Etapa 1.8.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Etapa 1.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Etapa 1.8.5

Some $1$ e $1$ .

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Etapa 1.8.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 1.8.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 1.8.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 1.8.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 1.8.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.8.6.4.1

Cancele o fator comum.

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 1.8.6.4.2

Reescreva a expressão.

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{2})$

Etapa 1.8.6.5

Avalie o expoente.

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{2})$

Etapa 1.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.9.1

Fatore $2$ de $8$ .

$c = 2 (4) (\frac{2 \sqrt{2}}{2})$

Etapa 1.9.2

Cancele o fator comum.

$c = 2 \cdot (4 (\frac{2 \sqrt{2}}{2}))$

Etapa 1.9.3

Reescreva a expressão.

$c = 4 (2 \sqrt{2})$

Etapa 1.10

Multiplique $2$ por $4$ .

$c = 8 \sqrt{2}$

Etapa 2

Encontre o último lado do triângulo usando o teorema de Pitágoras.

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Etapa 2.1

Use o teorema de Pitágoras para encontrar o lado desconhecido. Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa (o lado de um triângulo retângulo oposto ao ângulo reto) é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os dois catetos (os dois lados diferentes dos da hipotenusa).

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Etapa 2.2

Resolva a equação para $b$ .

$b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}$

Etapa 2.3

Substitua os valores reais na equação.

$b = \sqrt{{(8 \sqrt{2})}^{2} - {(8)}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Aplique a regra do produto a $8 \sqrt{2}$ .

$b = \sqrt{8^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(8)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$b = \sqrt{64 {\sqrt{2}}^{2} - {(8)}^{2}}$

Etapa 2.5

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$b = \sqrt{64 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(8)}^{2}}$

Etapa 2.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \sqrt{64 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(8)}^{2}}$

Etapa 2.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$b = \sqrt{64 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(8)}^{2}}$

Etapa 2.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.4.1

Cancele o fator comum.

$b = \sqrt{64 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(8)}^{2}}$

Etapa 2.5.4.2

Reescreva a expressão.

$b = \sqrt{64 \cdot 2 - {(8)}^{2}}$

Etapa 2.5.5

Avalie o expoente.

$b = \sqrt{64 \cdot 2 - {(8)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $64$ por $2$ .

$b = \sqrt{128 - {(8)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$b = \sqrt{128 - 1 \cdot 64}$

Etapa 2.6.3

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$b = \sqrt{128 - 64}$

Etapa 2.6.4

Subtraia $64$ de $128$ .

$b = \sqrt{64}$

Etapa 2.6.5

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$b = \sqrt{8^{2}}$

Etapa 2.6.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$b = 8$

Etapa 3

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 45$

$B = 45$

$C = 90$

$a = 8$

$b = 8$

$c = 8 \sqrt{2}$