Trigonometria Exemplos

$\sin (4 x) \cos (x) - \sin (x) \cos (4 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $[0, 2 π)$

Etapa 1

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = \frac{5 π}{12} + \frac{2 π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2

Encontre os valores de $n$ que produzem um valor dentro do intervalo $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $0$ por $n$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π (0)}{3}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.1

Fatore $3$ de $2 π (0)$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Etapa 2.1.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Etapa 2.1.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Etapa 2.1.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Etapa 2.1.2.1.1.2.4

Divida $2 π \cdot (0)$ por $1$ .

$\frac{5 π}{12} + 2 π \cdot (0)$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique $2 π (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.2.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$\frac{5 π}{12} + 0 π$

Etapa 2.1.2.1.2.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$\frac{5 π}{12} + 0$

Etapa 2.1.2.2

Some $\frac{5 π}{12}$ e $0$ .

$\frac{5 π}{12}$

Etapa 2.1.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{5 π}{12}$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Etapa 2.2

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $0$ por $n$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π (0)}{3}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1.1

Fatore $3$ de $2 π (0)$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Etapa 2.2.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Etapa 2.2.2.1.1.2.4

Divida $2 π \cdot (0)$ por $1$ .

$\frac{7 π}{12} + 2 π \cdot (0)$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $2 π (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.2.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$\frac{7 π}{12} + 0 π$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$\frac{7 π}{12} + 0$

Etapa 2.2.2.2

Some $\frac{7 π}{12}$ e $0$ .

$\frac{7 π}{12}$

Etapa 2.2.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{7 π}{12}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}$

Etapa 2.3

Substitua $1$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua $1$ por $n$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π (1)}{3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3}$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $\frac{2 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 2.3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Multiplique $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Etapa 2.3.2.3.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{12}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 π + 2 π \cdot 4}{12}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{5 π + 8 π}{12}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $5 π$ e $8 π$ .

$\frac{13 π}{12}$

Etapa 2.3.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{13 π}{12}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}$

Etapa 2.4

Substitua $1$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Substitua $1$ por $n$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π (1)}{3}$

Etapa 2.4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3}$

Etapa 2.4.2.2

Para escrever $\frac{2 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 2.4.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.3.1

Multiplique $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2.3.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{12}$

Etapa 2.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7 π + 2 π \cdot 4}{12}$

Etapa 2.4.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.5.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{7 π + 8 π}{12}$

Etapa 2.4.2.5.2

Some $7 π$ e $8 π$ .

$\frac{15 π}{12}$

Etapa 2.4.2.6

Cancele o fator comum de $15$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.6.1

Fatore $3$ de $15 π$ .

$\frac{3 (5 π)}{12}$

Etapa 2.4.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.6.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{3 (5 π)}{3 (4)}$

Etapa 2.4.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (5 π)}{3 \cdot 4}$

Etapa 2.4.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 π}{4}$

Etapa 2.4.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{5 π}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{5 π}{4}$

Etapa 2.5

Substitua $2$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Substitua $2$ por $n$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π (2)}{3}$

Etapa 2.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π}{3}$

Etapa 2.5.2.2

Para escrever $\frac{4 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 2.5.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Multiplique $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.3.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{12}$

Etapa 2.5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 π + 4 π \cdot 4}{12}$

Etapa 2.5.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.5.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{5 π + 16 π}{12}$

Etapa 2.5.2.5.2

Some $5 π$ e $16 π$ .

$\frac{21 π}{12}$

Etapa 2.5.2.6

Cancele o fator comum de $21$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.6.1

Fatore $3$ de $21 π$ .

$\frac{3 (7 π)}{12}$

Etapa 2.5.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.6.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$\frac{3 (7 π)}{3 (4)}$

Etapa 2.5.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (7 π)}{3 \cdot 4}$

Etapa 2.5.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{7 π}{4}$

Etapa 2.5.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{7 π}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Etapa 2.6

Substitua $2$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $[0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Substitua $2$ por $n$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π (2)}{3}$

Etapa 2.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π}{3}$

Etapa 2.6.2.2

Para escrever $\frac{4 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 2.6.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.3.1

Multiplique $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Etapa 2.6.2.3.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{12}$

Etapa 2.6.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7 π + 4 π \cdot 4}{12}$

Etapa 2.6.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.5.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{7 π + 16 π}{12}$

Etapa 2.6.2.5.2

Some $7 π$ e $16 π$ .

$\frac{23 π}{12}$

Etapa 2.6.3

O intervalo $[0, 2 π)$ contém $\frac{23 π}{12}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{23 π}{12}$

Etapa 3