Trigonometria Exemplos

$\sin (θ) = \frac{2}{3}$ , $\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Etapa 1

Para encontrar o valor de $\tan (θ)$ , use o fato de que $\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ e, então, substitua nos valores conhecidos.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}$

Etapa 2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}}$

Etapa 2.2.2

Reescreva a expressão.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = 2 (\frac{1}{\sqrt{5}})$

Etapa 2.3

Combine $2$ e $\frac{1}{\sqrt{5}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Etapa 2.4

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 2.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 2.5.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 2.5.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 2.5.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 2.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 2.5.6.5

Avalie o expoente.

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 3

Para encontrar o valor de $\cot (θ)$ , use o fato de que $\frac{1}{\tan (θ)}$ e, então, substitua nos valores conhecidos.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{1}{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}$

Etapa 4

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = 1 (\frac{5}{2 \sqrt{5}})$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ por $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{5}{2 \sqrt{5}}$

Etapa 4.3

Multiplique $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{5}{2 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 4.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.4.1

Multiplique $\frac{5}{2 \sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 4.4.2

Mova $\sqrt{5}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Etapa 4.4.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Etapa 4.4.4

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Etapa 4.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 {\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 4.4.7

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 4.4.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.4.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.4.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 4.4.7.5

Avalie o expoente.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 4.5

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 4.5.1

Cancele o fator comum.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{5 \sqrt{5}}{2 \cdot 5}$

Etapa 4.5.2

Reescreva a expressão.

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Etapa 5

Para encontrar o valor de $\sec (θ)$ , use o fato de que $\frac{1}{\cos (θ)}$ e, então, substitua nos valores conhecidos.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{3}}$

Etapa 6

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = 1 (\frac{3}{\sqrt{5}})$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{5}}$ por $1$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

Etapa 6.3

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 6.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.4.1

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 6.4.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 6.4.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 6.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 6.4.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 6.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 6.4.6.5

Avalie o expoente.

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 7

Para encontrar o valor de $\csc (θ)$ , use o fato de que $\frac{1}{\sin (θ)}$ e, então, substitua nos valores conhecidos.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Etapa 8

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = 1 (\frac{3}{2})$

Etapa 8.2

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{3}{2}$

Etapa 9

As funções trigonométricas encontradas são as seguintes:

$\sin (θ) = \frac{2}{3}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\sec (θ) = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

$\csc (θ) = \frac{3}{2}$