Trigonometria Exemplos

$f (x) = 2^{x - 1} + 1$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ como uma equação.

$y = 2^{x - 1} + 1$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 2^{y - 1} + 1$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $2^{y - 1} + 1 = x$ .

$2^{y - 1} + 1 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2^{y - 1} = x - 1$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (x - 1)$

Etapa 3.4

Expanda $\ln (2^{y - 1})$ movendo $y - 1$ para fora do logaritmo.

$(y - 1) \ln (2) = \ln (x - 1)$

Etapa 3.5

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.1

Simplifique $(y - 1) \ln (2)$ .

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Etapa 3.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (x - 1)$

Etapa 3.5.1.2

Reescreva $- 1 \ln (2)$ como $- \ln (2)$ .

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (x - 1)$

Etapa 3.6

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (x - 1) = 0$

Etapa 3.7

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.7.1

Some $\ln (2)$ aos dois lados da equação.

$y \ln (2) - \ln (x - 1) = \ln (2)$

Etapa 3.7.2

Some $\ln (x - 1)$ aos dois lados da equação.

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$

Etapa 3.8

Divida cada termo em $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$ por $\ln (2)$ e simplifique.

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Etapa 3.8.1

Divida cada termo em $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$ por $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Etapa 3.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.8.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

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Etapa 3.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Etapa 3.8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Etapa 3.8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.8.3.1

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

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Etapa 3.8.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Etapa 3.8.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ é o inverso de $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (2^{x - 1} + 1)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln ((2^{x - 1} + 1) - 1)}{\ln (2)}$

Etapa 5.2.3

Combine os termos opostos em $1 + \frac{\ln ((2^{x - 1} + 1) - 1)}{\ln (2)}$ .

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Etapa 5.2.3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1} + 0)}{\ln (2)}$

Etapa 5.2.3.2

Some $2^{x - 1}$ e $0$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Etapa 5.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.4.1

Expanda $\ln (2^{x - 1})$ movendo $x - 1$ para fora do logaritmo.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Etapa 5.2.4.2

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

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Etapa 5.2.4.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Etapa 5.2.4.2.2

Divida $x - 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + x - 1$

Etapa 5.2.5

Combine os termos opostos em $1 + x - 1$ .

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Etapa 5.2.5.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = x + 0$

Etapa 5.2.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{(1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) - 1} + 1$

Etapa 5.3.3

Combine os termos opostos em $2^{(1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) - 1} + 1$ .

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Etapa 5.3.3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}} + 1$

Etapa 5.3.3.2

Some $0$ e $\frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}} + 1$

Etapa 5.3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.4.1

Use a regra da mudança de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x - 1)} + 1$

Etapa 5.3.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x - 1 + 1$

Etapa 5.3.5

Combine os termos opostos em $x - 1 + 1$ .

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Etapa 5.3.5.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x + 0$

Etapa 5.3.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ é o inverso de $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$