Trigonometria Exemplos

$f (x) = \sqrt{5 x - 20}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt{5 x - 20}$ como uma equação.

$y = \sqrt{5 x - 20}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{5 y - 20}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt{5 y - 20} = x$ .

$\sqrt{5 y - 20} = x$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{5 y - 20}}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 y - 20}$ como ${(5 y - 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 y - 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${({(5 y - 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(5 y - 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 y - 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(5 y - 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(5 y - 20)}^{1} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

$5 y - 20 = x^{2}$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Some $20$ aos dois lados da equação.

$5 y = x^{2} + 20$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $5 y = x^{2} + 20$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $5 y = x^{2} + 20$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{x^{2}}{5} + \frac{20}{5}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 y}{5} = \frac{x^{2}}{5} + \frac{20}{5}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{20}{5}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Divida $20$ por $5$ .

$y = \frac{x^{2}}{5} + 4$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 4$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 4$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{5 x - 20}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{(\sqrt{5 x - 20})}^{2}}{5} + 4$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $5$ de $5 x - 20$ .

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Etapa 5.2.3.1.1.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{\sqrt{5 (x) - 20}}^{2}}{5} + 4$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Fatore $5$ de $- 20$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{\sqrt{5 x + 5 \cdot - 4}}^{2}}{5} + 4$

Etapa 5.2.3.1.1.3

Fatore $5$ de $5 x + 5 \cdot - 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{\sqrt{5 (x - 4)}}^{2}}{5} + 4$

Etapa 5.2.3.1.2

Reescreva ${\sqrt{5 (x - 4)}}^{2}$ como $5 (x - 4)$ .

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 (x - 4)}$ como ${(5 (x - 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{({(5 (x - 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5} + 4$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{(5 (x - 4))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5} + 4$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{(5 (x - 4))}^{\frac{2}{2}}}{5} + 4$

Etapa 5.2.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{(5 (x - 4))}^{\frac{2}{2}}}{5} + 4$

Etapa 5.2.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 (x - 4)}{5} + 4$

Etapa 5.2.3.1.2.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 (x - 4)}{5} + 4$

Etapa 5.2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 x + 5 \cdot - 4}{5} + 4$

Etapa 5.2.3.1.4

Multiplique $5$ por $- 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 x - 20}{5} + 4$

Etapa 5.2.3.1.5

Fatore $5$ de $5 x - 20$ .

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Etapa 5.2.3.1.5.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 (x) - 20}{5} + 4$

Etapa 5.2.3.1.5.2

Fatore $5$ de $- 20$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 x + 5 \cdot - 4}{5} + 4$

Etapa 5.2.3.1.5.3

Fatore $5$ de $5 x + 5 \cdot - 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 (x - 4)}{5} + 4$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 (x - 4)}{5} + 4$

Etapa 5.2.3.2.2

Divida $x - 4$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = x - 4 + 4$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x - 4 + 4$ .

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Etapa 5.2.4.1

Some $- 4$ e $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{x^{2}}{5} + 4)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 4) - 20}$

Etapa 5.3.3

Fatore $5$ de $5 (\frac{x^{2}}{5} + 4) - 20$ .

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Etapa 5.3.3.1

Fatore $5$ de $- 20$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 4) + 5 \cdot - 4}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $5$ de $5 (\frac{x^{2}}{5} + 4) + 5 \cdot - 4$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 4 - 4)}$

Etapa 5.3.4

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 5.3.4.1

Subtraia $4$ de $4$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 0)}$

Etapa 5.3.4.2

Some $\frac{x^{2}}{5}$ e $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5})}$

Etapa 5.3.5

Combine $5$ e $\frac{x^{2}}{5}$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{\frac{5 x^{2}}{5}}$

Etapa 5.3.6

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.3.6.1

Reduza a expressão $\frac{5 x^{2}}{5}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{\frac{5 x^{2}}{5}}$

Etapa 5.3.6.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Etapa 5.3.6.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{x^{2}}$

Etapa 5.3.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 4$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{5 x - 20}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 4$