Trigonometria Exemplos

$\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 1

Para escrever $\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 2

Para escrever $- \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\cos (θ) \sin (θ)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)}$ por $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$ por $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} - \frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Etapa 3.3

Reordene os fatores de $\sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} - \frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \sin (θ) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5.2

Multiplique $- \sin (θ) \sin (θ)$ .

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Etapa 5.2.1

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ)) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5.2.2

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1} - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) + (- \cos (θ) - \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - \cos (θ) \cos (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5.5

Multiplique $- \cos (θ) \cos (θ)$ .

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Etapa 5.5.1

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5.5.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - {\cos (θ)}^{1 + 1} - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5.5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5.6

Reordene os fatores de $- \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5.7

Subtraia $\cos (θ) \sin (θ)$ de $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{0 - \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5.8

Subtraia $\sin^{2} (θ)$ de $0$ .

$\frac{- \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5.9

Fatore $- 1$ de $- \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (θ)) - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5.10

Fatore $- 1$ de $- \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (θ)) - (\cos^{2} (θ))}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5.11

Fatore $- 1$ de $- (\sin^{2} (θ)) - (\cos^{2} (θ))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ))}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5.12

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 5.13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 6

Separe as frações.

$\frac{- 1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Etapa 7

Converta de $\frac{1}{\cos (θ)}$ em $\sec (θ)$ .

$\frac{- 1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

Etapa 8

Separe as frações.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

Etapa 9

Converta de $\frac{1}{\sin (θ)}$ em $\csc (θ)$ .

$\frac{- 1}{1} \csc (θ) \sec (θ)$

Etapa 10

Divida $- 1$ por $1$ .

$- \csc (θ) \sec (θ)$