Trigonometria Exemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 7 \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 15 \\ B = & 113 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Etapa 1

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 2

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $a$ .

$\frac{\sin (15)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Etapa 3

Resolva a equação para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

O valor exato de $\sin (15)$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{\sin (45 - 30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Etapa 3.1.1.2

Separar negativação.

$\frac{\sin (45 - (30))}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Etapa 3.1.1.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Etapa 3.1.1.4

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Etapa 3.1.1.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Etapa 3.1.1.6

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Etapa 3.1.1.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Etapa 3.1.1.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Etapa 3.1.1.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Etapa 3.1.1.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Etapa 3.1.1.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Etapa 3.1.1.8.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.8.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Etapa 3.1.1.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Etapa 3.1.1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Etapa 3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Etapa 3.1.3

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{1}{a}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Etapa 3.1.4

Avalie $\sin (113)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{0.92050485}{7}$

Etapa 3.1.5

Divida $0.92050485$ por $7$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = 0.13150069$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$4 a, 1$

Etapa 3.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$4 a$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = 0.13150069$ por $4 a$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = 0.13150069$ por $4 a$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} (4 a) = 0.13150069 (4 a)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} a = 0.13150069 (4 a)$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Fatore $4$ de $4 a$ .

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 (a)} a = 0.13150069 (4 a)$

Etapa 3.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} a = 0.13150069 (4 a)$

Etapa 3.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{a} a = 0.13150069 (4 a)$

Etapa 3.3.2.3

Cancele o fator comum de $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{a} a = 0.13150069 (4 a)$

Etapa 3.3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.13150069 (4 a)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Multiplique $4$ por $0.13150069$ .

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.52600277 a$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $0.52600277 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

$0.52600277 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $0.52600277 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ por $0.52600277$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $0.52600277 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ por $0.52600277$ .

$\frac{0.52600277 a}{0.52600277} = \frac{\sqrt{6}}{0.52600277} + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $0.52600277$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.52600277 a}{0.52600277} = \frac{\sqrt{6}}{0.52600277} + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{\sqrt{6}}{0.52600277} + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.1

Avalie a raiz.

$a = \frac{2.44948974}{0.52600277} + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Etapa 3.4.2.3.1.2

Divida $2.44948974$ por $0.52600277$ .

$a = 4.65680005 + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Etapa 3.4.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$a = 4.65680005 - \frac{\sqrt{2}}{0.52600277}$

Etapa 3.4.2.3.1.4

Avalie a raiz.

$a = 4.65680005 - \frac{1.41421356}{0.52600277}$

Etapa 3.4.2.3.1.5

Divida $1.41421356$ por $0.52600277$ .

$a = 4.65680005 - 1 \cdot 2.68860476$

Etapa 3.4.2.3.1.6

Multiplique $- 1$ por $2.68860476$ .

$a = 4.65680005 - 2.68860476$

Etapa 3.4.2.3.2

Subtraia $2.68860476$ de $4.65680005$ .

$a = 1.96819528$

Etapa 4

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$15 + C + 113 = 180$

Etapa 5

Resolva a equação para $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Some $15$ e $113$ .

$C + 128 = 180$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia $128$ dos dois lados da equação.

$C = 180 - 128$

Etapa 5.2.2

Subtraia $128$ de $180$ .

$C = 52$

Etapa 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 7

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $c$ .

$\frac{\sin (52)}{c} = \frac{\sin (15)}{1.96819528}$

Etapa 8

Resolva a equação para $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Avalie $\sin (52)$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sin (15)}{1.96819528}$

Etapa 8.1.2

O valor exato de $\sin (15)$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sin (45 - 30)}{1.96819528}$

Etapa 8.1.2.2

Separar negativação.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sin (45 - (30))}{1.96819528}$

Etapa 8.1.2.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{1.96819528}$

Etapa 8.1.2.4

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{1.96819528}$

Etapa 8.1.2.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{1.96819528}$

Etapa 8.1.2.6

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{1.96819528}$

Etapa 8.1.2.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Etapa 8.1.2.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Etapa 8.1.2.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Etapa 8.1.2.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Etapa 8.1.2.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Etapa 8.1.2.8.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.8.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{1.96819528}$

Etapa 8.1.2.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{1.96819528}$

Etapa 8.1.2.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{1.96819528}$

Etapa 8.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{1.96819528}$

Etapa 8.1.4

Divida $1$ por $1.96819528$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0.50807966$

Etapa 8.1.5

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0.50807966$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.5.1

Combine $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ e $0.50807966$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 0.50807966}{4}$

Etapa 8.1.5.2

Multiplique $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ por $0.50807966$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{0.52600277}{4}$

Etapa 8.1.6

Divida $0.52600277$ por $4$ .

$\frac{0.78801075}{c} = 0.13150069$

Etapa 8.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$c, 1$

Etapa 8.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$c$

Etapa 8.3

Multiplique cada termo em $\frac{0.78801075}{c} = 0.13150069$ por $c$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{0.78801075}{c} = 0.13150069$ por $c$ .

$\frac{0.78801075}{c} c = 0.13150069 c$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Cancele o fator comum de $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.78801075}{c} c = 0.13150069 c$

Etapa 8.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$0.78801075 = 0.13150069 c$

Etapa 8.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Reescreva a equação como $0.13150069 c = 0.78801075$ .

$0.13150069 c = 0.78801075$

Etapa 8.4.2

Divida cada termo em $0.13150069 c = 0.78801075$ por $0.13150069$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.1

Divida cada termo em $0.13150069 c = 0.78801075$ por $0.13150069$ .

$\frac{0.13150069 c}{0.13150069} = \frac{0.78801075}{0.13150069}$

Etapa 8.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $0.13150069$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.13150069 c}{0.13150069} = \frac{0.78801075}{0.13150069}$

Etapa 8.4.2.2.1.2

Divida $c$ por $1$ .

$c = \frac{0.78801075}{0.13150069}$

Etapa 8.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.2.3.1

Divida $0.78801075$ por $0.13150069$ .

$c = 5.99244561$

Etapa 9

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 15$

$B = 113$

$C = 52$

$a = 1.96819528$

$b = 7$

$c = 5.99244561$