Trigonometria Exemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 12 \\ c = \\ a = & 10 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 48 \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Etapa 1

A Lei dos Senos produz um resultado angular ambíguo. Isso significa que existem ângulos $2$ que resolverão corretamente a equação. Para o primeiro triângulo, use o primeiro valor de ângulo possível.

Resolva o primeiro triângulo.

Etapa 2

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $B$ .

$\frac{\sin (B)}{12} = \frac{\sin (48)}{10}$

Etapa 4

Resolva a equação para $B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique os dois lados da equação por $12$ .

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Etapa 4.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Etapa 4.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (B) = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique $12 \frac{\sin (48)}{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Fatore $2$ de $12$ .

$\sin (B) = 2 (6) \frac{\sin (48)}{10}$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Fatore $2$ de $10$ .

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Etapa 4.2.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Etapa 4.2.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$\sin (B) = 6 \frac{\sin (48)}{5}$

Etapa 4.2.2.1.2

Combine $6$ e $\frac{\sin (48)}{5}$ .

$\sin (B) = \frac{6 \sin (48)}{5}$

Etapa 4.2.2.1.3

Avalie $\sin (48)$ .

$\sin (B) = \frac{6 \cdot 0.74314482}{5}$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $6$ por $0.74314482$ .

$\sin (B) = \frac{4.45886895}{5}$

Etapa 4.2.2.1.5

Divida $4.45886895$ por $5$ .

$\sin (B) = 0.89177379$

Etapa 4.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $B$ de dentro do seno.

$B = \arcsin (0.89177379)$

Etapa 4.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Avalie $\arcsin (0.89177379)$ .

$B = 63.09699387$

Etapa 4.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$B = 180 - 63.09699387$

Etapa 4.6

Subtraia $63.09699387$ de $180$ .

$B = 116.90300612$

Etapa 4.7

A solução para a equação $B = 63.09699387$ .

$B = 63.09699387, 116.90300612$

Etapa 5

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$48 + C + 63.09699387 = 180$

Etapa 6

Resolva a equação para $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Some $48$ e $63.09699387$ .

$C + 111.09699387 = 180$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $111.09699387$ dos dois lados da equação.

$C = 180 - 111.09699387$

Etapa 6.2.2

Subtraia $111.09699387$ de $180$ .

$C = 68.90300612$

Etapa 7

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 8

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $c$ .

$\frac{\sin (68.90300612)}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Etapa 9

Resolva a equação para $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Avalie $\sin (68.90300612)$ .

$\frac{0.93297242}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Etapa 9.1.2

Avalie $\sin (48)$ .

$\frac{0.93297242}{c} = \frac{0.74314482}{10}$

Etapa 9.1.3

Divida $0.74314482$ por $10$ .

$\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448$

Etapa 9.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$c, 1$

Etapa 9.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$c$

Etapa 9.3

Multiplique cada termo em $\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448$ por $c$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{0.93297242}{c} = 0.07431448$ por $c$ .

$\frac{0.93297242}{c} c = 0.07431448 c$

Etapa 9.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Cancele o fator comum de $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.93297242}{c} c = 0.07431448 c$

Etapa 9.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$0.93297242 = 0.07431448 c$

Etapa 9.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Reescreva a equação como $0.07431448 c = 0.93297242$ .

$0.07431448 c = 0.93297242$

Etapa 9.4.2

Divida cada termo em $0.07431448 c = 0.93297242$ por $0.07431448$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.2.1

Divida cada termo em $0.07431448 c = 0.93297242$ por $0.07431448$ .

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.93297242}{0.07431448}$

Etapa 9.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $0.07431448$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.93297242}{0.07431448}$

Etapa 9.4.2.2.1.2

Divida $c$ por $1$ .

$c = \frac{0.93297242}{0.07431448}$

Etapa 9.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.2.3.1

Divida $0.93297242$ por $0.07431448$ .

$c = 12.55438226$

Etapa 10

Para o segundo triângulo, use o segundo valor angular possível.

Resolva o segundo triângulo.

Etapa 11

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 12

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $B$ .

$\frac{\sin (B)}{12} = \frac{\sin (48)}{10}$

Etapa 13

Resolva a equação para $B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique os dois lados da equação por $12$ .

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Etapa 13.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$12 \frac{\sin (B)}{12} = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Etapa 13.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (B) = 12 \frac{\sin (48)}{10}$

Etapa 13.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1

Simplifique $12 \frac{\sin (48)}{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1.1.1

Fatore $2$ de $12$ .

$\sin (B) = 2 (6) \frac{\sin (48)}{10}$

Etapa 13.2.2.1.1.2

Fatore $2$ de $10$ .

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Etapa 13.2.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\sin (B) = 2 \cdot 6 \frac{\sin (48)}{2 \cdot 5}$

Etapa 13.2.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$\sin (B) = 6 \frac{\sin (48)}{5}$

Etapa 13.2.2.1.2

Combine $6$ e $\frac{\sin (48)}{5}$ .

$\sin (B) = \frac{6 \sin (48)}{5}$

Etapa 13.2.2.1.3

Avalie $\sin (48)$ .

$\sin (B) = \frac{6 \cdot 0.74314482}{5}$

Etapa 13.2.2.1.4

Multiplique $6$ por $0.74314482$ .

$\sin (B) = \frac{4.45886895}{5}$

Etapa 13.2.2.1.5

Divida $4.45886895$ por $5$ .

$\sin (B) = 0.89177379$

Etapa 13.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $B$ de dentro do seno.

$B = \arcsin (0.89177379)$

Etapa 13.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

Avalie $\arcsin (0.89177379)$ .

$B = 63.09699387$

Etapa 13.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$B = 180 - 63.09699387$

Etapa 13.6

Subtraia $63.09699387$ de $180$ .

$B = 116.90300612$

Etapa 13.7

A solução para a equação $B = 63.09699387$ .

$B = 63.09699387, 116.90300612$

Etapa 14

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$48 + C + 116.90300612 = 180$

Etapa 15

Resolva a equação para $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Some $48$ e $116.90300612$ .

$C + 164.90300612 = 180$

Etapa 15.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Subtraia $164.90300612$ dos dois lados da equação.

$C = 180 - 164.90300612$

Etapa 15.2.2

Subtraia $164.90300612$ de $180$ .

$C = 15.09699387$

Etapa 16

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 17

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $c$ .

$\frac{\sin (15.09699387)}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Etapa 18

Resolva a equação para $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1

Avalie $\sin (15.09699387)$ .

$\frac{0.26045385}{c} = \frac{\sin (48)}{10}$

Etapa 18.1.2

Avalie $\sin (48)$ .

$\frac{0.26045385}{c} = \frac{0.74314482}{10}$

Etapa 18.1.3

Divida $0.74314482$ por $10$ .

$\frac{0.26045385}{c} = 0.07431448$

Etapa 18.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$c, 1$

Etapa 18.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$c$

Etapa 18.3

Multiplique cada termo em $\frac{0.26045385}{c} = 0.07431448$ por $c$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{0.26045385}{c} = 0.07431448$ por $c$ .

$\frac{0.26045385}{c} c = 0.07431448 c$

Etapa 18.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.2.1

Cancele o fator comum de $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.26045385}{c} c = 0.07431448 c$

Etapa 18.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$0.26045385 = 0.07431448 c$

Etapa 18.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.1

Reescreva a equação como $0.07431448 c = 0.26045385$ .

$0.07431448 c = 0.26045385$

Etapa 18.4.2

Divida cada termo em $0.07431448 c = 0.26045385$ por $0.07431448$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.2.1

Divida cada termo em $0.07431448 c = 0.26045385$ por $0.07431448$ .

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.26045385}{0.07431448}$

Etapa 18.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $0.07431448$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.07431448 c}{0.07431448} = \frac{0.26045385}{0.07431448}$

Etapa 18.4.2.2.1.2

Divida $c$ por $1$ .

$c = \frac{0.26045385}{0.07431448}$

Etapa 18.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.2.3.1

Divida $0.26045385$ por $0.07431448$ .

$c = 3.50475229$

Etapa 19

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

Combinação do primeiro triângulo:

$A = 48$

$B = 63.09699387$

$C = 68.90300612$

$a = 10$

$b = 12$

$c = 12.55438226$

Combinação do segundo triângulo:

$A = 48$

$B = 116.90300612$

$C = 15.09699387$

$a = 10$

$b = 12$

$c = 3.50475229$