Trigonometria Exemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 4 \\ c = \\ a = & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Etapa 1

Use a lei dos cossenos para encontrar o lado desconhecido do triângulo, considerando os outros dois lados e o ângulo incluído.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Etapa 2

Resolva a equação.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$c = \sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos (90 °)}$

Etapa 4

Simplifique os resultados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$c = \sqrt{9 + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (90 °))}$

Etapa 4.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (90 °))}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 2 \cdot 3 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 6 \cdot (4 \cos (90 °))}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cos (90 °)}$

Etapa 4.4

O valor exato de $\cos (90 °)$ é $0$ .

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cdot 0}$

Etapa 4.5

Multiplique $- 24$ por $0$ .

$c = \sqrt{9 + 16 + 0}$

Etapa 4.6

Some $9 + 16$ e $0$ .

$c = \sqrt{9 + 16}$

Etapa 4.7

Some $9$ e $16$ .

$c = \sqrt{25}$

Etapa 4.8

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$c = \sqrt{5^{2}}$

Etapa 4.9

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$c = 5$

Etapa 5

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 6

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $A$ .

$\frac{\sin (A)}{3} = \frac{\sin (90 °)}{5}$

Etapa 7

Resolva a equação para $A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

Etapa 7.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (A) = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Simplifique $3 \frac{\sin (90 °)}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

O valor exato de $\sin (90 °)$ é $1$ .

$\sin (A) = 3 (\frac{1}{5})$

Etapa 7.2.2.1.2

Combine $3$ e $\frac{1}{5}$ .

$\sin (A) = \frac{3}{5}$

Etapa 7.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $A$ de dentro do seno.

$A = \arcsin (\frac{3}{5})$

Etapa 7.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Avalie $\arcsin (\frac{3}{5})$ .

$A = 36.86989764$

Etapa 7.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$A = 180 - 36.86989764$

Etapa 7.6

Subtraia $36.86989764$ de $180$ .

$A = 143.13010235$

Etapa 7.7

A solução para a equação $A = 36.86989764$ .

$A = 36.86989764, 143.13010235$

Etapa 7.8

Exclua o ângulo inválido.

$A = 36.86989764$

Etapa 8

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$36.86989764 + 90 ° + B = 180$

Etapa 9

Resolva a equação para $B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Some $36.86989764$ e $90 °$ .

$126.86989764 + B = 180$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Subtraia $126.86989764$ dos dois lados da equação.

$B = 180 - 126.86989764$

Etapa 9.2.2

Subtraia $126.86989764$ de $180$ .

$B = 53.13010235$

Etapa 10

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 36.86989764$

$B = 53.13010235$

$C = 90 °$

$a = 3$

$b = 4$

$c = 5$