Trigonometria Exemplos

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\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 4 \\ c = \\ a = & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 4 \\ c = \\ a = & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Etapa 1

Use a lei dos cossenos para encontrar o lado desconhecido do triângulo, considerando os outros dois lados e o ângulo incluído.

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Etapa 2

Resolva a equação.

c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

c = \sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos (90 °)}

$c = \sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos (90 °)}$

Etapa 4

Simplifique os resultados.

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Etapa 4.1

Eleve

3

$3$ à potência de

2

$2$ .

c = \sqrt{9 + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (90 °))}

$c = \sqrt{9 + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (90 °))}$

Etapa 4.2

Eleve

4

$4$ à potência de

2

$2$ .

c = \sqrt{9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (90 °))}

$c = \sqrt{9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (90 °))}$

Etapa 4.3

Multiplique

- 2 \cdot 3 \cdot 4

$- 2 \cdot 3 \cdot 4$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique

- 2

$- 2$ por

3

$3$ .

c = \sqrt{9 + 16 - 6 \cdot (4 \cos (90 °))}

$c = \sqrt{9 + 16 - 6 \cdot (4 \cos (90 °))}$

Etapa 4.3.2

Multiplique

- 6

$- 6$ por

4

$4$ .

c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cos (90 °)}

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cos (90 °)}$

c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cos (90 °)}

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cos (90 °)}$

Etapa 4.4

O valor exato de

\cos (90 °)

$\cos (90 °)$ é

0

$0$ .

c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cdot 0}

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cdot 0}$

Etapa 4.5

Multiplique

- 24

$- 24$ por

0

$0$ .

c = \sqrt{9 + 16 + 0}

$c = \sqrt{9 + 16 + 0}$

Etapa 4.6

Some

9 + 16

$9 + 16$ e

0

$0$ .

c = \sqrt{9 + 16}

$c = \sqrt{9 + 16}$

Etapa 4.7

Some

9

$9$ e

16

$16$ .

c = \sqrt{25}

$c = \sqrt{25}$

Etapa 4.8

Reescreva

25

$25$ como

5^{2}

$5^{2}$ .

c = \sqrt{5^{2}}

$c = \sqrt{5^{2}}$

Etapa 4.9

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

c = 5

$c = 5$

c = 5

$c = 5$

Etapa 5

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 6

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar

A

$A$ .

\frac{\sin (A)}{3} = \frac{\sin (90 °)}{5}

$\frac{\sin (A)}{3} = \frac{\sin (90 °)}{5}$

Etapa 7

Resolva a equação para

A

$A$ .

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Etapa 7.1

Multiplique os dois lados da equação por

3

$3$ .

3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

Etapa 7.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de

3

$3$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

\sin (A) = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}

$\sin (A) = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

\sin (A) = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}

$\sin (A) = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

\sin (A) = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}

$\sin (A) = 3 \frac{\sin (90 °)}{5}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique

3 \frac{\sin (90 °)}{5}

$3 \frac{\sin (90 °)}{5}$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

O valor exato de

\sin (90 °)

$\sin (90 °)$ é

1

$1$ .

\sin (A) = 3 (\frac{1}{5})

$\sin (A) = 3 (\frac{1}{5})$

Etapa 7.2.2.1.2

Combine

3

$3$ e

\frac{1}{5}

$\frac{1}{5}$ .

\sin (A) = \frac{3}{5}

$\sin (A) = \frac{3}{5}$

\sin (A) = \frac{3}{5}

$\sin (A) = \frac{3}{5}$

\sin (A) = \frac{3}{5}

$\sin (A) = \frac{3}{5}$

\sin (A) = \frac{3}{5}

$\sin (A) = \frac{3}{5}$

Etapa 7.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair

A

$A$ de dentro do seno.

A = \arcsin (\frac{3}{5})

$A = \arcsin (\frac{3}{5})$

Etapa 7.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.1

Avalie

\arcsin (\frac{3}{5})

$\arcsin (\frac{3}{5})$ .

A = 36.86989764

$A = 36.86989764$

A = 36.86989764

$A = 36.86989764$

Etapa 7.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de

180

$180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

A = 180 - 36.86989764

$A = 180 - 36.86989764$

Etapa 7.6

Subtraia

36.86989764

$36.86989764$ de

180

$180$ .

A = 143.13010235

$A = 143.13010235$

Etapa 7.7

A solução para a equação

A = 36.86989764

$A = 36.86989764$ .

A = 36.86989764, 143.13010235

$A = 36.86989764, 143.13010235$

Etapa 7.8

Exclua o ângulo inválido.

A = 36.86989764

$A = 36.86989764$

A = 36.86989764

$A = 36.86989764$

Etapa 8

A soma de todos os ângulos em um triângulo é

180

$180$ graus.

36.86989764 + 90 ° + B = 180

$36.86989764 + 90 ° + B = 180$

Etapa 9

Resolva a equação para

B

$B$ .

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Etapa 9.1

Some

36.86989764

$36.86989764$ e

90 °

$90 °$ .

126.86989764 + B = 180

$126.86989764 + B = 180$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm

B

$B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Subtraia

126.86989764

$126.86989764$ dos dois lados da equação.

B = 180 - 126.86989764

$B = 180 - 126.86989764$

Etapa 9.2.2

Subtraia

126.86989764

$126.86989764$ de

180

$180$ .

B = 53.13010235

$B = 53.13010235$

B = 53.13010235

$B = 53.13010235$

B = 53.13010235

$B = 53.13010235$

Etapa 10

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

A = 36.86989764

$A = 36.86989764$

B = 53.13010235

$B = 53.13010235$

C = 90 °

$C = 90 °$

a = 3

$a = 3$

b = 4

$b = 4$

c = 5

$c = 5$