Trigonometria Exemplos

$z = 4 \sqrt{3} - 4 i$

Etapa 1

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 2

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a = 4 \sqrt{3}$ e $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4

Encontre $| z |$ .

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Etapa 4.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(4 \sqrt{3})}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Aplique a regra do produto a $4 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 4^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 4.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Etapa 4.2.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $16$ por $3$ .

$| z | = \sqrt{16 + 48}$

Etapa 4.3.2

Some $16$ e $48$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Etapa 4.3.3

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Etapa 4.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 8$

Etapa 5

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{4 \sqrt{3}})$

Etapa 6

Como a tangente inversa de $\frac{- 4}{4 \sqrt{3}}$ produz um ângulo no quarto quadrante, o valor do ângulo é $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Etapa 7

Substitua os valores de $θ = - \frac{π}{6}$ e $| z | = 8$ .

$8 (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$

Etapa 8

Substitua o lado direito da equação pela forma trigonométrica.

$z = 8 (\cos (- \frac{π}{6}) + i \sin (- \frac{π}{6}))$