Trigonometria Exemplos

$\sin (2 θ) + \sin (4 θ) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (θ) \cos (θ) + \sin (4 θ) = 0$

Etapa 1.1.2

Fatore $2$ de $4 θ$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + \sin (2 (2 θ)) = 0$

Etapa 1.1.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 2 (2 \sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ) = 0$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 (\sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ) = 0$

Etapa 1.1.5

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (1 - 2 \sin^{2} (θ)) = 0$

Etapa 1.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) = 0$

Etapa 1.1.7

Multiplique $4$ por $1$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) = 0$

Etapa 1.1.8

Multiplique $\sin (θ)$ por $\sin^{2} (θ)$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.8.1

Mova $\sin^{2} (θ)$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) + 4 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos (θ) \cdot - 2 = 0$

Etapa 1.1.8.2

Multiplique $\sin^{2} (θ)$ por $\sin (θ)$ .

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Etapa 1.1.8.2.1

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) + 4 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos (θ) \cdot - 2 = 0$

Etapa 1.1.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) + 4 {\sin (θ)}^{2 + 1} \cos (θ) \cdot - 2 = 0$

Etapa 1.1.8.3

Some $2$ e $1$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin^{3} (θ) \cos (θ) \cdot - 2 = 0$

Etapa 1.1.9

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ) - 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ) = 0$

Etapa 1.2

Some $2 \sin (θ) \cos (θ)$ e $4 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$6 \sin (θ) \cos (θ) - 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ) = 0$

Etapa 2

Fatore $2 \sin (θ) \cos (θ)$ de $6 \sin (θ) \cos (θ) - 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$ .

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Etapa 2.1

Fatore $2 \sin (θ) \cos (θ)$ de $6 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 3 - 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $2 \sin (θ) \cos (θ)$ de $- 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 3 + 2 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ)) = 0$

Etapa 2.3

Fatore $2 \sin (θ) \cos (θ)$ de $2 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 3 + 2 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ))$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) (3 - 4 \sin^{2} (θ)) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$\cos (θ) = 0$

$3 - 4 \sin^{2} (θ) = 0$

Etapa 4

Defina $\sin (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 4.1

Defina $\sin (θ)$ como igual a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\sin (θ) = 0$ para $θ$ .

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Etapa 4.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (0)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$θ = 0$

Etapa 4.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = π - 0$

Etapa 4.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$θ = π$

Etapa 4.2.5

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.6

O período da função $\sin (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $\cos (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 5.1

Defina $\cos (θ)$ como igual a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\cos (θ) = 0$ para $θ$ .

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Etapa 5.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (0)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 5.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 5.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 5.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.2.5

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 5.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.6

O período da função $\cos (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $3 - 4 \sin^{2} (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 6.1

Defina $3 - 4 \sin^{2} (θ)$ como igual a $0$ .

$3 - 4 \sin^{2} (θ) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $3 - 4 \sin^{2} (θ) = 0$ para $θ$ .

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Etapa 6.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 4 \sin^{2} (θ) = - 3$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $- 4 \sin^{2} (θ) = - 3$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $- 4 \sin^{2} (θ) = - 3$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 \sin^{2} (θ)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $\sin^{2} (θ)$ por $1$ .

$\sin^{2} (θ) = \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin^{2} (θ) = \frac{3}{4}$

Etapa 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (θ) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Etapa 6.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Etapa 6.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Etapa 6.2.4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.4.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 6.2.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.2.6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.2.7

Resolva $θ$ em $\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 6.2.7.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 6.2.7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.7.2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.7.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$θ = π - \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.7.4

Simplifique $π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 6.2.7.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$θ = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.7.4.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.7.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.7.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 6.2.7.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.7.4.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$θ = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 6.2.7.4.3.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.2.7.5

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 6.2.7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2.7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.2.7.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.2.7.6

O período da função $\sin (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6.2.8

Resolva $θ$ em $\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 6.2.8.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do seno.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 6.2.8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.8.2.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$θ = - \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.8.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Etapa 6.2.8.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 6.2.8.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Etapa 6.2.8.4.2

O ângulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Etapa 6.2.8.5

Encontre o período de $\sin (θ)$ .

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Etapa 6.2.8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2.8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.2.8.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.2.8.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 6.2.8.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{3}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Etapa 6.2.8.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.8.6.3

Combine frações.

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Etapa 6.2.8.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.8.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 6.2.8.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.8.6.4.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Etapa 6.2.8.6.4.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Etapa 6.2.8.6.5

Liste os novos ângulos.

$θ = \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.2.8.7

O período da função $\sin (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6.2.9

Liste todas as soluções.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6.2.10

Consolide as soluções.

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Etapa 6.2.10.1

Consolide $\frac{π}{3} + 2 π n$ e $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ em $\frac{π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6.2.10.2

Consolide $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ e $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ em $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $2 \sin (θ) \cos (θ) (3 - 4 \sin^{2} (θ)) = 0$ verdadeiro.

$θ = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as respostas.

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Etapa 8.1

Consolide $2 π n$ e $π + 2 π n$ em $π n$ .

$θ = π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.2

Consolide $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ em $\frac{π}{2} + π n$ .

$θ = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.3

Consolide $π n$ e $\frac{π}{2} + π n$ em $\frac{π n}{2}$ .

$θ = \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$