Trigonometria Exemplos

${(5 x^{2} - 7 \ln (x))}^{2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 5 x^{2} - 7 \ln (x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x^{2} - 7 \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7 \ln (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7 \ln (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x^{2} - 7 \ln (x)$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7 \ln (x)]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} - 7 \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)]$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

Etapa 2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $5$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

Etapa 2.5

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 \ln (x)$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x - 7 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x - 7 \frac{1}{x})$

Etapa 4

Combine frações.

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Etapa 4.1

Combine $- 7$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x + \frac{- 7}{x})$

Etapa 4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x - \frac{7}{x})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 \ln (x))) (10 x - \frac{7}{x})$

Etapa 5.2

Combine os termos.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$(10 x^{2} + 2 (- 7 \ln (x))) (10 x - \frac{7}{x})$

Etapa 5.2.2

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$(10 x^{2} - 14 \ln (x)) (10 x - \frac{7}{x})$

Etapa 5.3

Reordene os fatores de $(10 x^{2} - 14 \ln (x)) (10 x - \frac{7}{x})$ .

$(10 x - \frac{7}{x}) (10 x^{2} - 14 \ln (x))$