Trigonometria Exemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 12 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 ° \\ B = & 60 ° \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Etapa 1

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 2

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $a$ .

$\frac{\sin (30 °)}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Etapa 3

Resolva a equação para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

O valor exato de $\sin (30 °)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Etapa 3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Etapa 3.1.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{a}$ .

$\frac{1}{2 a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

Etapa 3.1.4

O valor exato de $\sin (90 °)$ é $1$ .

$\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 a, 12$

Etapa 3.2.2

Como $2 a, 12$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $2 a, 12$ 1) e, depois, o da parte variável $2 a, 12$ .

Etapa 3.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.2.4

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 3.2.5

Os fatores primos de $12$ são $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

$12$ tem fatores de $2$ e $6$ .

$2 \cdot 6$

Etapa 3.2.5.2

$6$ tem fatores de $2$ e $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Etapa 3.2.6

Multiplique $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cdot 3$

Etapa 3.2.6.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$12$

Etapa 3.2.7

O fator de $a^{1}$ é o próprio $a$ .

$a^{1} = a$

$a$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.2.8

O MMC de $a^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$a$

Etapa 3.2.9

O MMC de $2 a, 12$ é a parte numérica $12$ multiplicada pela parte variável.

$12 a$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$ por $12 a$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$ por $12 a$ .

$\frac{1}{2 a} (12 a) = \frac{1}{12} (12 a)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$12 \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$2 (6) \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Etapa 3.3.2.2.2

Fatore $2$ de $2 a$ .

$2 (6) \frac{1}{2 (a)} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Etapa 3.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 6 \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Etapa 3.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$6 \frac{1}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Etapa 3.3.2.3

Combine $6$ e $\frac{1}{a}$ .

$\frac{6}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Etapa 3.3.2.4

Cancele o fator comum de $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

Etapa 3.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$6 = \frac{1}{12} (12 a)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Fatore $12$ de $12 a$ .

$6 = \frac{1}{12} (12 (a))$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$6 = \frac{1}{12} (12 a)$

Etapa 3.3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$6 = a$

Etapa 3.4

Reescreva a equação como $a = 6$ .

$a = 6$

Etapa 4

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 5

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $b$ .

$\frac{\sin (60 °)}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Etapa 6

Resolva a equação para $b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

O valor exato de $\sin (60 °)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Etapa 6.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Etapa 6.1.3

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{b}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

Etapa 6.1.4

O valor exato de $\sin (30 °)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\frac{1}{2}}{6}$

Etapa 6.1.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$

Etapa 6.1.6

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.6.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{2 \cdot 6}$

Etapa 6.1.6.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$

Etapa 6.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 b, 12$

Etapa 6.2.2

Como $2 b, 12$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $2 b, 12$ 1) e, depois, o da parte variável $2 b, 12$ .

Etapa 6.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 6.2.4

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 6.2.5

Os fatores primos de $12$ são $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.5.1

$12$ tem fatores de $2$ e $6$ .

$2 \cdot 6$

Etapa 6.2.5.2

$6$ tem fatores de $2$ e $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Etapa 6.2.6

Multiplique $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cdot 3$

Etapa 6.2.6.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$12$

Etapa 6.2.7

O fator de $b^{1}$ é o próprio $b$ .

$b^{1} = b$

$b$ ocorre $1$ vez.

Etapa 6.2.8

O MMC de $b^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$b$

Etapa 6.2.9

O MMC de $2 b, 12$ é a parte numérica $12$ multiplicada pela parte variável.

$12 b$

Etapa 6.3

Multiplique cada termo em $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$ por $12 b$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$ por $12 b$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} (12 b) = \frac{1}{12} (12 b)$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$12 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Etapa 6.3.2.2.2

Fatore $2$ de $2 b$ .

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 (b)} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Etapa 6.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 6 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Etapa 6.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$6 \frac{\sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Etapa 6.3.2.3

Combine $6$ e $\frac{\sqrt{3}}{b}$ .

$\frac{6 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Etapa 6.3.2.4

Cancele o fator comum de $b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

Etapa 6.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 b)$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Cancele o fator comum de $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1

Fatore $12$ de $12 b$ .

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 (b))$

Etapa 6.3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 b)$

Etapa 6.3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$6 \sqrt{3} = b$

Etapa 6.4

Reescreva a equação como $b = 6 \sqrt{3}$ .

$b = 6 \sqrt{3}$

Etapa 7

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 30 °$

$B = 60 °$

$C = 90 °$

$a = 6$

$b = 6 \sqrt{3}$

$c = 12$