Trigonometria Exemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 54 \\ c = & 42 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 52.1 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Etapa 1

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 2

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $C$ .

$\frac{\sin (C)}{42} = \frac{\sin (52.1)}{54}$

Etapa 3

Resolva a equação para $C$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $42$ .

$42 \frac{\sin (C)}{42} = 42 \frac{\sin (52.1)}{54}$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $42$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$42 \frac{\sin (C)}{42} = 42 \frac{\sin (52.1)}{54}$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (C) = 42 \frac{\sin (52.1)}{54}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $42 \frac{\sin (52.1)}{54}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Fatore $6$ de $42$ .

$\sin (C) = 6 (7) \frac{\sin (52.1)}{54}$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Fatore $6$ de $54$ .

$\sin (C) = 6 \cdot 7 \frac{\sin (52.1)}{6 \cdot 9}$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\sin (C) = 6 \cdot 7 \frac{\sin (52.1)}{6 \cdot 9}$

Etapa 3.2.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$\sin (C) = 7 \frac{\sin (52.1)}{9}$

Etapa 3.2.2.1.2

Combine $7$ e $\frac{\sin (52.1)}{9}$ .

$\sin (C) = \frac{7 \sin (52.1)}{9}$

Etapa 3.2.2.1.3

Avalie $\sin (52.1)$ .

$\sin (C) = \frac{7 \cdot 0.78908408}{9}$

Etapa 3.2.2.1.4

Multiplique $7$ por $0.78908408$ .

$\sin (C) = \frac{5.52358859}{9}$

Etapa 3.2.2.1.5

Divida $5.52358859$ por $9$ .

$\sin (C) = 0.61373206$

Etapa 3.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $C$ de dentro do seno.

$C = \arcsin (0.61373206)$

Etapa 3.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.1

Avalie $\arcsin (0.61373206)$ .

$C = 37.85984761$

Etapa 3.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$C = 180 - 37.85984761$

Etapa 3.6

Subtraia $37.85984761$ de $180$ .

$C = 142.14015238$

Etapa 3.7

A solução para a equação $C = 37.85984761$ .

$C = 37.85984761, 142.14015238$

Etapa 3.8

Exclua o ângulo inválido.

$C = 37.85984761$

Etapa 4

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$A + 37.85984761 + 52.1 = 180$

Etapa 5

Resolva a equação para $A$ .

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Etapa 5.1

Some $37.85984761$ e $52.1$ .

$A + 89.95984761 = 180$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $89.95984761$ dos dois lados da equação.

$A = 180 - 89.95984761$

Etapa 5.2.2

Subtraia $89.95984761$ de $180$ .

$A = 90.04015238$

Etapa 6

Use a lei dos cossenos para encontrar o lado desconhecido do triângulo, considerando os outros dois lados e o ângulo incluído.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Etapa 7

Resolva a equação.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Etapa 8

Substitua os valores conhecidos na equação.

$a = \sqrt{{(54)}^{2} + {(42)}^{2} - 2 \cdot 54 \cdot 42 \cos (90.04015238)}$

Etapa 9

Simplifique os resultados.

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Etapa 9.1

Eleve $54$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{2916 + {(42)}^{2} - 2 \cdot 54 \cdot (42 \cos (90.04015238))}$

Etapa 9.2

Eleve $42$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{2916 + 1764 - 2 \cdot 54 \cdot (42 \cos (90.04015238))}$

Etapa 9.3

Multiplique $- 2 \cdot 54 \cdot 42$ .

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Etapa 9.3.1

Multiplique $- 2$ por $54$ .

$a = \sqrt{2916 + 1764 - 108 \cdot (42 \cos (90.04015238))}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $- 108$ por $42$ .

$a = \sqrt{2916 + 1764 - 4536 \cos (90.04015238)}$

Etapa 9.4

Some $2916$ e $1764$ .

$a = \sqrt{4680 - 4536 \cos (90.04015238)}$

Etapa 10

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 90.04015238$

$B = 52.1$

$C = 37.85984761$

$a = \sqrt{4680 - 4536 \cos (90.04015238)}$

$b = 54$

$c = 42$