Trigonometria Exemplos

$\cos (θ) - \tan (θ) \cos (θ) = 0$

Etapa 1

Fatore $\cos (θ)$ de $\cos (θ) - \tan (θ) \cos (θ)$ .

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Etapa 1.1

Multiplique por $1$ .

$\cos (θ) \cdot 1 - \tan (θ) \cos (θ) = 0$

Etapa 1.2

Fatore $\cos (θ)$ de $- \tan (θ) \cos (θ)$ .

$\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \tan (θ)) = 0$

Etapa 1.3

Fatore $\cos (θ)$ de $\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \tan (θ))$ .

$\cos (θ) (1 - \tan (θ)) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \tan (θ) = 0$

Etapa 3

Defina $\cos (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 3.1

Defina $\cos (θ)$ como igual a $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\cos (θ) = 0$ para $θ$ .

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Etapa 3.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro do cosseno.

$θ = \arccos (0)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 3.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 3.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 3.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 3.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Etapa 3.2.5

Encontre o período de $\cos (θ)$ .

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Etapa 3.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.2.6

O período da função $\cos (θ)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $1 - \tan (θ)$ como igual a $0$ e resolva para $θ$ .

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Etapa 4.1

Defina $1 - \tan (θ)$ como igual a $0$ .

$1 - \tan (θ) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $1 - \tan (θ) = 0$ para $θ$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \tan (θ) = - 1$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $- \tan (θ) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $- \tan (θ) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.2.2.2

Divida $\tan (θ)$ por $1$ .

$\tan (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (θ) = 1$

Etapa 4.2.3

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (1)$

Etapa 4.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.4.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.5

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.6

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 4.2.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 4.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 4.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.6.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 4.2.6.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Etapa 4.2.7

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

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Etapa 4.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 4.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 4.2.7.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.2.8

O período da função $\tan (θ)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $\cos (θ) (1 - \tan (θ)) = 0$ verdadeiro.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Consolide as respostas.

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Etapa 6.1

Consolide $\frac{π}{2} + 2 π n$ e $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ em $\frac{π}{2} + π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6.2

Consolide $\frac{π}{4} + π n$ e $\frac{5 π}{4} + π n$ em $\frac{π}{4} + π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Exclua as soluções que não tornam $\cos (θ) (1 - \tan (θ)) = 0$ verdadeira.

$θ = \frac{π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$