Trigonometria Exemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 9 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 45 \\ B = & 45 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Etapa 1

Encontre $b$ .

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Etapa 1.1

O cosseno de um ângulo é igual à razão do lado adjacente à hipotenusa.

$\cos (A) = \frac{adj}{hyp}$

Etapa 1.2

Substitua o nome de cada lado na definição da função do cosseno.

$\cos (A) = \frac{b}{c}$

Etapa 1.3

Estabeleça a equação para resolver o lado adjacente que, nesse caso, é $b$ .

$b = c \cdot \cos (A)$

Etapa 1.4

Substitua os valores de cada variável na fórmula do cosseno.

$b = 9 \cdot \cos (45)$

Etapa 1.5

Combine $9$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$b = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2

Encontre o último lado do triângulo usando o teorema de Pitágoras.

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Etapa 2.1

Use o teorema de Pitágoras para encontrar o lado desconhecido. Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa (o lado de um triângulo retângulo oposto ao ângulo reto) é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os dois catetos (os dois lados diferentes dos da hipotenusa).

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Etapa 2.2

Resolva a equação para $a$ .

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Etapa 2.3

Substitua os valores reais na equação.

$a = \sqrt{{(9)}^{2} - {(\frac{9 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 2.4

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{81 - {(\frac{9 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 2.5

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.5.1

Aplique a regra do produto a $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{{(9 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 2.5.2

Aplique a regra do produto a $9 \sqrt{2}$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{9^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{81 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 2.6.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.6.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{81 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 2.6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Etapa 2.6.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 2.6.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.6.2.4.1

Cancele o fator comum.

$a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 2.6.2.4.2

Reescreva a expressão.

$a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2}{2^{2}}}$

Etapa 2.6.2.5

Avalie o expoente.

$a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2}{2^{2}}}$

Etapa 2.7

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 2.7.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{81 \cdot 2}{4}}$

Etapa 2.7.2

Multiplique $81$ por $2$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{162}{4}}$

Etapa 2.7.3

Cancele o fator comum de $162$ e $4$ .

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Etapa 2.7.3.1

Fatore $2$ de $162$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{2 (81)}{4}}$

Etapa 2.7.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.7.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$a = \sqrt{81 - \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.7.3.2.2

Cancele o fator comum.

$a = \sqrt{81 - \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.7.3.2.3

Reescreva a expressão.

$a = \sqrt{81 - \frac{81}{2}}$

Etapa 2.8

Para escrever $81$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$a = \sqrt{81 \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2}}$

Etapa 2.9

Combine $81$ e $\frac{2}{2}$ .

$a = \sqrt{\frac{81 \cdot 2}{2} - \frac{81}{2}}$

Etapa 2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$a = \sqrt{\frac{81 \cdot 2 - 81}{2}}$

Etapa 2.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.11.1

Multiplique $81$ por $2$ .

$a = \sqrt{\frac{162 - 81}{2}}$

Etapa 2.11.2

Subtraia $81$ de $162$ .

$a = \sqrt{\frac{81}{2}}$

Etapa 2.12

Reescreva $\sqrt{\frac{81}{2}}$ como $\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{2}}$ .

$a = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.13.1

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$a = \frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.13.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$a = \frac{9}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.14

Multiplique $\frac{9}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$a = \frac{9}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.15

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.15.1

Multiplique $\frac{9}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 2.15.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 2.15.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 2.15.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.15.5

Some $1$ e $1$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 2.15.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.15.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.15.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.15.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.15.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.15.6.4.1

Cancele o fator comum.

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.15.6.4.2

Reescreva a expressão.

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.15.6.5

Avalie o expoente.

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 45$

$B = 45$

$C = 90$

$a = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

$b = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$

$c = 9$