Trigonometria Exemplos

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 23 \\ c = \\ a = & 34 ° \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

Etapa 1

Use a lei dos cossenos para encontrar o lado desconhecido do triângulo, considerando os outros dois lados e o ângulo incluído.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

Etapa 2

Resolva a equação.

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na equação.

$c = \sqrt{{(34 °)}^{2} + {(23)}^{2} - 2 \cdot 34 ° \cdot 23 \cos (90 °)}$

Etapa 4

Simplifique os resultados.

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Etapa 4.1

Eleve $34 °$ à potência de $2$ .

$c = \sqrt{1156 + {(23)}^{2} - 2 \cdot 34 ° \cdot (23 \cos (90 °))}$

Etapa 4.2

Eleve $23$ à potência de $2$ .

$c = \sqrt{1156 + 529 - 2 \cdot 34 ° \cdot (23 \cos (90 °))}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 2 \cdot 34 ° \cdot 23$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 2$ por $34 °$ .

$c = \sqrt{1156 + 529 - 68 \cdot (23 \cos (90 °))}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 68$ por $23$ .

$c = \sqrt{1156 + 529 - 1564 \cos (90 °)}$

Etapa 4.4

O valor exato de $\cos (90 °)$ é $0$ .

$c = \sqrt{1156 + 529 - 1564 \cdot 0}$

Etapa 4.5

Multiplique $- 1564$ por $0$ .

$c = \sqrt{1156 + 529 + 0}$

Etapa 4.6

Some $1156 + 529$ e $0$ .

$c = \sqrt{1156 + 529}$

Etapa 4.7

Some $1156$ e $529$ .

$c = \sqrt{1685}$

Etapa 5

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 6

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $A$ .

$\frac{\sin (A)}{34 °} = \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{1685}}$

Etapa 7

Resolva a equação para $A$ .

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Etapa 7.1

Multiplique os dois lados da equação por $34 °$ .

$34 ° \frac{\sin (A)}{34 °} = 34 ° \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{1685}}$

Etapa 7.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $34 °$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$34 ° \frac{\sin (A)}{34 °} = 34 ° \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{1685}}$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{1685}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique $34 ° \frac{\sin (90 °)}{\sqrt{1685}}$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

O valor exato de $\sin (90 °)$ é $1$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{1}{\sqrt{1685}}$

Etapa 7.2.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1685}}$ por $\frac{\sqrt{1685}}{\sqrt{1685}}$ .

$\sin (A) = 34 ° (\frac{1}{\sqrt{1685}} \cdot \frac{\sqrt{1685}}{\sqrt{1685}})$

Etapa 7.2.2.1.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.2.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1685}}$ por $\frac{\sqrt{1685}}{\sqrt{1685}}$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{\sqrt{1685} \sqrt{1685}}$

Etapa 7.2.2.1.3.2

Eleve $\sqrt{1685}$ à potência de $1$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{{\sqrt{1685}}^{1} \sqrt{1685}}$

Etapa 7.2.2.1.3.3

Eleve $\sqrt{1685}$ à potência de $1$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{{\sqrt{1685}}^{1} {\sqrt{1685}}^{1}}$

Etapa 7.2.2.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{{\sqrt{1685}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.2.2.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{{\sqrt{1685}}^{2}}$

Etapa 7.2.2.1.3.6

Reescreva ${\sqrt{1685}}^{2}$ como $1685$ .

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Etapa 7.2.2.1.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1685}$ como $1685^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{{(1685^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.2.2.1.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{1685^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.2.2.1.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{1685^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.2.2.1.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.2.1.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{1685^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.2.2.1.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{1685^{1}}$

Etapa 7.2.2.1.3.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (A) = 34 ° \frac{\sqrt{1685}}{1685}$

Etapa 7.2.2.1.4

Combine $34 °$ e $\frac{\sqrt{1685}}{1685}$ .

$\sin (A) = \frac{34 ° \sqrt{1685}}{1685}$

Etapa 7.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $A$ de dentro do seno.

$A = \arcsin (\frac{34 ° \sqrt{1685}}{1685})$

Etapa 7.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.1

Avalie $\arcsin (\frac{34 ° \sqrt{1685}}{1685})$ .

$A = 55.92280471$

Etapa 7.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$A = 180 - 55.92280471$

Etapa 7.6

Subtraia $55.92280471$ de $180$ .

$A = 124.07719528$

Etapa 7.7

A solução para a equação $A = 55.92280471$ .

$A = 55.92280471, 124.07719528$

Etapa 7.8

Exclua o ângulo inválido.

$A = 55.92280471$

Etapa 8

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$55.92280471 + 90 ° + B = 180$

Etapa 9

Resolva a equação para $B$ .

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Etapa 9.1

Some $55.92280471$ e $90 °$ .

$145.92280471 + B = 180$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Subtraia $145.92280471$ dos dois lados da equação.

$B = 180 - 145.92280471$

Etapa 9.2.2

Subtraia $145.92280471$ de $180$ .

$B = 34.07719528$

Etapa 10

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 55.92280471$

$B = 34.07719528$

$C = 90 °$

$a = 34 °$

$b = 23$

$c = \sqrt{1685}$