Trigonometria Exemplos

$\sec (\frac{5 θ}{4}) = 2$

Etapa 1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da secante.

$\frac{5 θ}{4} = arcsec (2)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O valor exato de $arcsec (2)$ é $\frac{π}{3}$ .

$\frac{5 θ}{4} = \frac{π}{3}$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Etapa 4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.1

Simplifique $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Etapa 4.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Etapa 4.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.2.1

Fatore $5$ de $5 θ$ .

$\frac{1}{5} (5 (θ)) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Etapa 4.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Etapa 4.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique $\frac{4}{5} \cdot \frac{π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $\frac{4}{5}$ por $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{4 π}{5 \cdot 3}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$θ = \frac{4 π}{15}$

Etapa 5

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{5 θ}{4} = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 6

Resolva $θ$ .

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Etapa 6.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Etapa 6.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Simplifique $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 θ}{4} = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Etapa 6.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Etapa 6.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.2.1

Fatore $5$ de $5 θ$ .

$\frac{1}{5} (5 (θ)) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Etapa 6.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{5} (5 θ) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Etapa 6.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique $\frac{4}{5} (2 π - \frac{π}{3})$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{4}{5} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Etapa 6.2.2.1.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.2.1.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{4}{5} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 6.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.2.1.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.2.2.1.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.4.1.1

Fatore $5$ de $5 π$ .

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{5 (π)}{3}$

Etapa 6.2.2.1.4.1.2

Cancele o fator comum.

$θ = \frac{4}{5} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.2.2.1.4.1.3

Reescreva a expressão.

$θ = 4 \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.2.1.4.2

Combine $4$ e $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Etapa 7

Encontre o período de $\sec (\frac{5 θ}{4})$ .

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Etapa 7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.2

Substitua $b$ por $\frac{5}{4}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{5}{4} |}$

Etapa 7.3

$\frac{5}{4}$ é aproximadamente $1.25$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{5}{4}}$

Etapa 7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{4}{5}$

Etapa 7.5

Multiplique $2 π \frac{4}{5}$ .

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Etapa 7.5.1

Combine $\frac{4}{5}$ e $2$ .

$\frac{4 \cdot 2}{5} π$

Etapa 7.5.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{8}{5} π$

Etapa 7.5.3

Combine $\frac{8}{5}$ e $π$ .

$\frac{8 π}{5}$

Etapa 8

O período da função $\sec (\frac{5 θ}{4})$ é $\frac{8 π}{5}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{8 π}{5}$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{4 π}{15} + \frac{8 π n}{5}, \frac{4 π}{3} + \frac{8 π n}{5}$ , para qualquer número inteiro $n$