Trigonometria Exemplos

$f (x) = - 3 \sin (x - π) + 2$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 \sin (x - π) + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x - π)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x - π)] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x - π)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \sin (x - π)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x - π)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x - π)] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x - π$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - π$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - π]) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$- 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - π]) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - π$ .

$- 3 (\cos (x - π) \frac{d}{d x} [x - π]) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - π$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$- 3 (\cos (x - π) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 (\cos (x - π) (1 + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.5

Como $- π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- π$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 (\cos (x - π) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.6

Some $1$ e $0$ .

$- 3 (\cos (x - π) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.7

Multiplique $\cos (x - π)$ por $1$ .

$- 3 \cos (x - π) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 \cos (x - π) + 0$

Etapa 1.3.2

Some $- 3 \cos (x - π)$ e $0$ .

$- 3 \cos (x - π)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \cos (x - π)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x - π)]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \cos (x - π)$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x - π$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - π$ .

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - π))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - π))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - π$ .

$f'' (x) = - 3 (- \sin (x - π) \frac{d}{d x} (x - π))$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f'' (x) = 3 (\sin (x - π) \frac{d}{d x} (x - π))$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - π$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = 3 \sin (x - π) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 \sin (x - π) (1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Etapa 2.3.4

Como $- π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- π$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 3 \sin (x - π) (1 + 0)$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 3 \sin (x - π) \cdot 1$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 \sin (x - π)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 3 \cos (x - π) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $- 3 \cos (x - π) = 0$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $- 3 \cos (x - π) = 0$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos (x - π)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 \cos (x - π)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $\cos (x - π)$ por $1$ .

$\cos (x - π) = \frac{0}{- 3}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida $0$ por $- 3$ .

$\cos (x - π) = 0$

Etapa 5

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x - π = \arccos (0)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x - π = \frac{π}{2}$

Etapa 7

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.1

Some $π$ aos dois lados da equação.

$x = \frac{π}{2} + π$

Etapa 7.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 7.3

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Etapa 7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π + π \cdot 2}{2}$

Etapa 7.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Etapa 7.5.2

Some $π$ e $2 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 8

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x - π = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 9

Resolva $x$ .

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Etapa 9.1

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 9.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x - π = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.1.2

Combine frações.

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Etapa 9.1.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x - π = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x - π = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 9.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x - π = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 9.1.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x - π = \frac{3 π}{2}$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Some $π$ aos dois lados da equação.

$x = \frac{3 π}{2} + π$

Etapa 9.2.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 9.2.3

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Etapa 9.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{3 π + π \cdot 2}{2}$

Etapa 9.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3 π + 2 \cdot π}{2}$

Etapa 9.2.5.2

Some $3 π$ e $2 π$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

Etapa 10

A solução para a equação $x - π = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{2}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$3 \sin ((\frac{3 π}{2}) - π)$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 12.1

Para escrever $- π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 \sin (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 12.2

Combine frações.

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Etapa 12.2.1

Combine $- π$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 \sin (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})$

Etapa 12.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \sin (\frac{3 π - π \cdot 2}{2})$

Etapa 12.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 \sin (\frac{3 π - 2 π}{2})$

Etapa 12.3.2

Subtraia $2 π$ de $3 π$ .

$3 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 12.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 12.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 13

$x = \frac{3 π}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 14

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Etapa 14.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \sin ((\frac{3 π}{2}) - π) + 2$

Etapa 14.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.2.1.1

Para escrever $- π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Etapa 14.2.1.2

Combine $- π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}) + 2$

Etapa 14.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{3 π - π \cdot 2}{2}) + 2$

Etapa 14.2.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.2.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{3 π - 2 π}{2}) + 2$

Etapa 14.2.1.4.2

Subtraia $2 π$ de $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{π}{2}) + 2$

Etapa 14.2.1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 \cdot 1 + 2$

Etapa 14.2.1.6

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 + 2$

Etapa 14.2.2

Some $- 3$ e $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

Etapa 14.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5 π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$3 \sin ((\frac{5 π}{2}) - π)$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 16.1

Para escrever $- π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 \sin (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 16.2

Combine frações.

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Etapa 16.2.1

Combine $- π$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 \sin (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})$

Etapa 16.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{2})$

Etapa 16.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 \sin (\frac{5 π - 2 π}{2})$

Etapa 16.3.2

Subtraia $2 π$ de $5 π$ .

$3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 16.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 16.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$3 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 16.6

Multiplique $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 16.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 \cdot - 1$

Etapa 16.6.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3$

Etapa 17

$x = \frac{5 π}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{2}$ é um máximo local

Etapa 18

Encontre o valor y quando $x = \frac{5 π}{2}$ .

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Etapa 18.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \sin ((\frac{5 π}{2}) - π) + 2$

Etapa 18.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 18.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 18.2.1.1

Para escrever $- π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Etapa 18.2.1.2

Combine $- π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}) + 2$

Etapa 18.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{5 π - π \cdot 2}{2}) + 2$

Etapa 18.2.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 18.2.1.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{5 π - 2 π}{2}) + 2$

Etapa 18.2.1.4.2

Subtraia $2 π$ de $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 2$

Etapa 18.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 (- \sin (\frac{π}{2})) + 2$

Etapa 18.2.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 (- 1 \cdot 1) + 2$

Etapa 18.2.1.7

Multiplique $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 18.2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = - 3 \cdot - 1 + 2$

Etapa 18.2.1.7.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 3 + 2$

Etapa 18.2.2

Some $3$ e $2$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 5$

Etapa 18.2.3

A resposta final é $5$ .

$y = 5$

Etapa 19

Esses são os extremos locais para $f (x) = - 3 \sin (x - π) + 2$ .

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ é um mínimo local

$(\frac{5 π}{2}, 5)$ é um máximo local

Etapa 20