Trigonometria Exemplos

$\frac{2 x - 9}{x (x + 3)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3}$

Etapa 1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x + 3)$ .

$\frac{(2 x - 9) (x (x + 3))}{x (x + 3)} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x - 9) (x (x + 3))}{x (x + 3)} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(2 x - 9) (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x - 9) (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.4.2

Divida $2 x - 9$ por $1$ .

$2 x - 9 = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$2 x - 9 = \frac{A (x (x + 3))}{x} + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.5.1.2

Divida $A (x + 3)$ por $1$ .

$2 x - 9 = A (x + 3) + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x - 9 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.5.3

Mova $3$ para a esquerda de $A$ .

$2 x - 9 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.5.4

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$2 x - 9 = A x + 3 A + \frac{B (x (x + 3))}{x + 3}$

Etapa 1.5.4.2

Divida $(B) (x)$ por $1$ .

$2 x - 9 = A x + 3 A + (B) (x)$

$2 x - 9 = A x + 3 A + B x$

Etapa 1.6

Mova $3 A$ .

$2 x - 9 = A x + B x + 3 A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 9 = 3 A$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$2 = A + B$

$- 9 = 3 A$

$2 = A + B$

$- 9 = 3 A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $- 9 = 3 A$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $3 A = - 9$ .

$3 A = - 9$

$2 = A + B$

Etapa 3.1.2

Divida cada termo em $3 A = - 9$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

Divida cada termo em $3 A = - 9$ por $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 9}{3}$

$2 = A + B$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 9}{3}$

$2 = A + B$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 9}{3}$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 9}{3}$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 9}{3}$

$2 = A + B$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.2.3.1

Divida $- 9$ por $3$ .

$A = - 3$

$2 = A + B$

$A = - 3$

$2 = A + B$

$A = - 3$

$2 = A + B$

$A = - 3$

$2 = A + B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 3$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $2 = A + B$ por $- 3$ .

$2 = (- 3) + B$

$A = - 3$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Remova os parênteses.

$2 = - 3 + B$

$A = - 3$

$2 = - 3 + B$

$A = - 3$

$2 = - 3 + B$

$A = - 3$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $2 = - 3 + B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- 3 + B = 2$ .

$- 3 + B = 2$

$A = - 3$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$B = 2 + 3$

$A = - 3$

Etapa 3.3.2.2

Some $2$ e $3$ .

$B = 5$

$A = - 3$

$B = 5$

$A = - 3$

$B = 5$

$A = - 3$

Etapa 3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = 5 A = - 3$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$B = 5, A = - 3$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$- \frac{3}{x} + \frac{5}{x + 3}$