Trigonometria Exemplos

$f (x) = 4 \cos^{2} (x) - 3$

Etapa 1

Defina $4 \cos^{2} (x) - 3$ como igual a $0$ .

$4 \cos^{2} (x) - 3 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$4 \cos^{2} (x) = 3$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $4 \cos^{2} (x) = 3$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $4 \cos^{2} (x) = 3$ por $4$ .

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Etapa 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Etapa 2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Etapa 2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.4.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 2.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.7

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 2.7.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 2.7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.7.2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 2.7.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Etapa 2.7.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 2.7.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 2.7.4.2

Combine frações.

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Etapa 2.7.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 2.7.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 2.7.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.7.4.3.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Etapa 2.7.4.3.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 2.7.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.7.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.7.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.8

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 2.8.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 2.8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.8.2.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 2.8.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Etapa 2.8.4

Simplifique $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Etapa 2.8.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Etapa 2.8.4.2

Combine frações.

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Etapa 2.8.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Etapa 2.8.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Etapa 2.8.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.4.3.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Etapa 2.8.4.3.2

Subtraia $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 2.8.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.8.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.8.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.9

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.10

Consolide as soluções.

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Etapa 2.10.1

Consolide $\frac{π}{6} + 2 π n$ e $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ em $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.10.2

Consolide $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ e $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ em $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3