Trigonometria Exemplos

$f (t) = \frac{2}{3} \cos (t)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{2}{3} \cdot \cos (t)$ em relação a $t$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\cos (t)$ em relação a $t$ é $- \sin (t)$ .

$\frac{2}{3} (- \sin (t))$

Etapa 1.3

Combine $\frac{2}{3}$ e $\sin (t)$ .

$- \frac{2 \sin (t)}{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- \frac{2}{3}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{2 \sin (t)}{3}$ em relação a $t$ é $- \frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$f'' (t) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d t} \sin (t)$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (t)$ em relação a $t$ é $\cos (t)$ .

$f'' (t) = - \frac{2}{3} \cdot \cos (t)$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Combine $\cos (t)$ e $\frac{2}{3}$ .

$f'' (t) = - \frac{\cos (t) \cdot 2}{3}$

Etapa 2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (t)$ .

$f'' (t) = - \frac{2 \cos (t)}{3}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{2 \sin (t)}{3} = 0$

Etapa 4

Defina o numerador como igual a zero.

$2 \sin (t) = 0$

Etapa 5

Resolva a equação para $t$ .

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $2 \sin (t) = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $2 \sin (t) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.1.2.1.2

Divida $\sin (t)$ por $1$ .

$\sin (t) = \frac{0}{2}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$\sin (t) = 0$

Etapa 5.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do seno.

$t = \arcsin (0)$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$t = 0$

Etapa 5.4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$t = π - 0$

Etapa 5.5

Subtraia $0$ de $π$ .

$t = π$

Etapa 5.6

A solução para a equação $t = 0$ .

$t = 0, π$

Etapa 6

Avalie a segunda derivada em $t = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2 \cos (0)}{3}$

Etapa 7

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 7.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{3}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{2}{3}$

Etapa 8

$t = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = 0$ é um máximo local

Etapa 9

Encontre o valor y quando $t = 0$ .

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Etapa 9.1

Substitua a variável $t$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{2}{3} \cdot \cos (0)$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = \frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 9.2.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$f (0) = \frac{2}{3}$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $\frac{2}{3}$ .

$y = \frac{2}{3}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $t = π$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2 \cos (π)}{3}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 11.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \frac{2 (- \cos (0))}{3}$

Etapa 11.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{2 (- 1 \cdot 1)}{3}$

Etapa 11.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Etapa 11.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{- 2}{3}$

Etapa 11.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{2}{3}$

Etapa 11.3

Multiplique $- - \frac{2}{3}$ .

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Etapa 11.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{2}{3})$

Etapa 11.3.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3}$

Etapa 12

$t = π$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = π$ é um mínimo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $t = π$ .

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Etapa 13.1

Substitua a variável $t$ por $π$ na expressão.

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot \cos (π)$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot (- \cos (0))$

Etapa 13.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot (- 1 \cdot 1)$

Etapa 13.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot - 1$

Etapa 13.2.4

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 13.2.4.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$f (π) = \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Etapa 13.2.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (π) = \frac{- 2}{3}$

Etapa 13.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (π) = - \frac{2}{3}$

Etapa 13.2.6

A resposta final é $- \frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{2}{3}$

Etapa 14

Esses são os extremos locais para $f (t) = \frac{2}{3} \cdot \cos (t)$ .

$(0, \frac{2}{3})$ é um máximo local

$(π, - \frac{2}{3})$ é um mínimo local

Etapa 15