Trigonometria Exemplos

$y = \frac{1}{2} \arccos (π x) - 3$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3 = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3 = x$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\arccos (π y)$ .

$\frac{\arccos (π y)}{2} - 3 = x$

Etapa 2.3

Some $3$ aos dois lados da equação.

$\frac{\arccos (π y)}{2} = x + 3$

Etapa 2.4

Multiplique os dois lados por $2$ .

$\frac{\arccos (π y)}{2} \cdot 2 = (x + 3) \cdot 2$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\arccos (π y)}{2} \cdot 2 = (x + 3) \cdot 2$

Etapa 2.5.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\arccos (π y) = (x + 3) \cdot 2$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.1

Simplifique $(x + 3) \cdot 2$ .

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Etapa 2.5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\arccos (π y) = x \cdot 2 + 3 \cdot 2$

Etapa 2.5.2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.2.1.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\arccos (π y) = 2 \cdot x + 3 \cdot 2$

Etapa 2.5.2.1.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\arccos (π y) = 2 x + 6$

Etapa 2.6

Resolva $y$ .

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Etapa 2.6.1

Obtenha o arco cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco cosseno.

$π y = \cos (2 x + 6)$

Etapa 2.6.2

Divida cada termo em $π y = \cos (2 x + 6)$ por $π$ e simplifique.

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Etapa 2.6.2.1

Divida cada termo em $π y = \cos (2 x + 6)$ por $π$ .

$\frac{π y}{π} = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.6.2.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 2.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π y}{π} = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Etapa 2.6.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) + 6)}{π}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.3.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\arccos (π x)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2} - 3) + 6)}{π}$

Etapa 4.2.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2}) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

Etapa 4.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2}) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

Etapa 4.2.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

Etapa 4.2.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) - 6 + 6)}{π}$

Etapa 4.2.3.2

Combine os termos opostos em $\arccos (π x) - 6 + 6$ .

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Etapa 4.2.3.2.1

Some $- 6$ e $6$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) + 0)}{π}$

Etapa 4.2.3.2.2

Some $\arccos (π x)$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x))}{π}$

Etapa 4.2.3.3

As funções cosseno e arco cosseno são inversos.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{π x}{π}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{π x}{π}$

Etapa 4.2.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})) - 3$

Etapa 4.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 4.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})) - 3$

Etapa 4.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (\cos (2 x + 6)) - 3$

Etapa 4.3.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\arccos (\cos (2 x + 6))$ .

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{\arccos (\cos (2 x + 6))}{2} - 3$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$ é o inverso de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$