Trigonometria Exemplos

$9 y^{2} + 41 = 4 x^{2} + 54 y + 8 x$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $4 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$9 y^{2} + 41 - 4 x^{2} = 54 y + 8 x$

Etapa 1.2

Subtraia $54 y$ dos dois lados da equação.

$9 y^{2} + 41 - 4 x^{2} - 54 y = 8 x$

Etapa 1.3

Subtraia $8 x$ dos dois lados da equação.

$9 y^{2} + 41 - 4 x^{2} - 54 y - 8 x = 0$

Etapa 1.4

Mova $41$ .

$9 y^{2} - 4 x^{2} - 54 y - 8 x + 41 = 0$

Etapa 1.5

Mova $- 54 y$ .

$9 y^{2} - 4 x^{2} - 8 x - 54 y + 41 = 0$

Etapa 1.6

Reordene $9 y^{2}$ e $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y + 41 = 0$

Etapa 2

Subtraia $41$ dos dois lados da equação.

$- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y = - 41$

Etapa 3

Complete o quadrado de $- 4 x^{2} - 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Etapa 3.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 3.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (- 4)}$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot - 4}$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 4}{- 4}$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 4}{- 4}$

Etapa 3.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 3.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 4}$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 16}$

Etapa 3.4.2.1.3

Divida $64$ por $- 16$ .

$e = 0 - - 4$

Etapa 3.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Etapa 3.4.2.2

Some $0$ e $4$ .

$e = 4$

Etapa 3.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 4 {(x + 1)}^{2} + 4$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 4$

Etapa 4

Substitua $- 4 {(x + 1)}^{2} + 4$ por $- 4 x^{2} - 8 x$ na equação $- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y = - 41$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 4 + 9 y^{2} - 54 y = - 41$

Etapa 5

Mova $4$ para o lado direito da equação, somando $4$ aos dois lados.

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 y^{2} - 54 y = - 41 - 4$

Etapa 6

Complete o quadrado de $9 y^{2} - 54 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Etapa 6.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 6.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 54$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Etapa 6.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Etapa 6.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Etapa 6.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 27}{9}$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 27$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Fatore $9$ de $- 27$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Etapa 6.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.2.1

Fatore $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Etapa 6.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Etapa 6.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 3}{1}$

Etapa 6.3.2.2.2.4

Divida $- 3$ por $1$ .

$d = - 3$

Etapa 6.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Eleve $- 54$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Etapa 6.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Etapa 6.4.2.1.3

Divida $2916$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Etapa 6.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $81$ .

$e = 0 - 81$

Etapa 6.4.2.2

Subtraia $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Etapa 6.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $9 {(y - 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y - 3)}^{2} - 81$

Etapa 7

Substitua $9 {(y - 3)}^{2} - 81$ por $9 y^{2} - 54 y$ na equação $- 4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x - 54 y = - 41$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} - 81 = - 41 - 4$

Etapa 8

Mova $- 81$ para o lado direito da equação, somando $81$ aos dois lados.

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = - 41 - 4 + 81$

Etapa 9

Simplifique $- 41 - 4 + 81$ .

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Etapa 9.1

Subtraia $4$ de $- 41$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = - 45 + 81$

Etapa 9.2

Some $- 45$ e $81$ .

$- 4 {(x + 1)}^{2} + 9 {(y - 3)}^{2} = 36$

Etapa 10

Divida cada termo por $36$ para que o lado direito seja igual a um.

$- \frac{4 {(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y - 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Etapa 11

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{9} = 1$