Trigonometria Exemplos

$\sin (2 x) - 2 \cos (x) = 0$ , $(0, 2 π)$

Etapa 1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) = 0$

Etapa 2

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x)$ .

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Etapa 2.1

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $2 \cos (x)$ de $- 2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Etapa 2.3

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Etapa 4

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 4.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 4.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 4.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 4.2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $\sin (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\sin (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\sin (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\sin (x) = 1$

Etapa 5.2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (1)$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.5

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 5.2.5.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.5.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.5.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 5.2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.5.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 5.2.5.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.6

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Encontre os valores de $n$ que produzem um valor dentro do intervalo $(0, 2 π)$ .

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Etapa 8.1

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $(0, 2 π)$ .

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Etapa 8.1.1

Substitua $0$ por $n$ .

$\frac{π}{2} + π (0)$

Etapa 8.1.2

Simplifique.

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Etapa 8.1.2.1

Multiplique $π$ por $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Etapa 8.1.2.2

Some $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{π}{2}$

Etapa 8.1.3

O intervalo $(0, 2 π)$ contém $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 8.2

Substitua $1$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $(0, 2 π)$ .

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Etapa 8.2.1

Substitua $1$ por $n$ .

$\frac{π}{2} + π (1)$

Etapa 8.2.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.2.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$\frac{π}{2} + π$

Etapa 8.2.2.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 8.2.2.3

Combine frações.

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Etapa 8.2.2.3.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Etapa 8.2.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

Etapa 8.2.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.2.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Etapa 8.2.2.4.2

Some $π$ e $2 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 8.2.3

O intervalo $(0, 2 π)$ contém $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$