Trigonometria Exemplos

$c = 9$ , $b = 14$ , $C = 19$

Etapa 1

A Lei dos Senos produz um resultado angular ambíguo. Isso significa que existem ângulos $2$ que resolverão corretamente a equação. Para o primeiro triângulo, use o primeiro valor de ângulo possível.

Resolva o primeiro triângulo.

Etapa 2

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $B$ .

$\frac{\sin (B)}{14} = \frac{\sin (19)}{9}$

Etapa 4

Resolva a equação para $B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique os dois lados da equação por $14$ .

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (19)}{9}$

Etapa 4.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum de $14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (19)}{9}$

Etapa 4.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (B) = 14 \frac{\sin (19)}{9}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique $14 \frac{\sin (19)}{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Avalie $\sin (19)$ .

$\sin (B) = 14 (\frac{0.32556815}{9})$

Etapa 4.2.2.1.2

Divida $0.32556815$ por $9$ .

$\sin (B) = 14 \cdot 0.03617423$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $14$ por $0.03617423$ .

$\sin (B) = 0.50643935$

Etapa 4.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $B$ de dentro do seno.

$B = \arcsin (0.50643935)$

Etapa 4.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Avalie $\arcsin (0.50643935)$ .

$B = 30.4269464$

Etapa 4.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$B = 180 - 30.4269464$

Etapa 4.6

Subtraia $30.4269464$ de $180$ .

$B = 149.57305359$

Etapa 4.7

A solução para a equação $B = 30.4269464$ .

$B = 30.4269464, 149.57305359$

Etapa 5

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$A + 19 + 30.4269464 = 180$

Etapa 6

Resolva a equação para $A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Some $19$ e $30.4269464$ .

$A + 49.4269464 = 180$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $49.4269464$ dos dois lados da equação.

$A = 180 - 49.4269464$

Etapa 6.2.2

Subtraia $49.4269464$ de $180$ .

$A = 130.57305359$

Etapa 7

Use a lei dos cossenos para encontrar o lado desconhecido do triângulo, considerando os outros dois lados e o ângulo incluído.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Etapa 8

Resolva a equação.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Etapa 9

Substitua os valores conhecidos na equação.

$a = \sqrt{{(14)}^{2} + {(9)}^{2} - 2 \cdot 14 \cdot 9 \cos (130.57305359)}$

Etapa 10

Simplifique os resultados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Eleve $14$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{196 + {(9)}^{2} - 2 \cdot 14 \cdot (9 \cos (130.57305359))}$

Etapa 10.2

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{196 + 81 - 2 \cdot 14 \cdot (9 \cos (130.57305359))}$

Etapa 10.3

Multiplique $- 2 \cdot 14 \cdot 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Multiplique $- 2$ por $14$ .

$a = \sqrt{196 + 81 - 28 \cdot (9 \cos (130.57305359))}$

Etapa 10.3.2

Multiplique $- 28$ por $9$ .

$a = \sqrt{196 + 81 - 252 \cos (130.57305359)}$

Etapa 10.4

Some $196$ e $81$ .

$a = \sqrt{277 - 252 \cos (130.57305359)}$

Etapa 11

Para o segundo triângulo, use o segundo valor angular possível.

Resolva o segundo triângulo.

Etapa 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 13

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $B$ .

$\frac{\sin (B)}{14} = \frac{\sin (19)}{9}$

Etapa 14

Resolva a equação para $B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Multiplique os dois lados da equação por $14$ .

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (19)}{9}$

Etapa 14.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.1

Cancele o fator comum de $14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (19)}{9}$

Etapa 14.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (B) = 14 \frac{\sin (19)}{9}$

Etapa 14.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1

Simplifique $14 \frac{\sin (19)}{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1.1

Avalie $\sin (19)$ .

$\sin (B) = 14 (\frac{0.32556815}{9})$

Etapa 14.2.2.1.2

Divida $0.32556815$ por $9$ .

$\sin (B) = 14 \cdot 0.03617423$

Etapa 14.2.2.1.3

Multiplique $14$ por $0.03617423$ .

$\sin (B) = 0.50643935$

Etapa 14.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $B$ de dentro do seno.

$B = \arcsin (0.50643935)$

Etapa 14.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Avalie $\arcsin (0.50643935)$ .

$B = 30.4269464$

Etapa 14.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$B = 180 - 30.4269464$

Etapa 14.6

Subtraia $30.4269464$ de $180$ .

$B = 149.57305359$

Etapa 14.7

A solução para a equação $B = 30.4269464$ .

$B = 30.4269464, 149.57305359$

Etapa 15

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$A + 19 + 149.57305359 = 180$

Etapa 16

Resolva a equação para $A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Some $19$ e $149.57305359$ .

$A + 168.57305359 = 180$

Etapa 16.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Subtraia $168.57305359$ dos dois lados da equação.

$A = 180 - 168.57305359$

Etapa 16.2.2

Subtraia $168.57305359$ de $180$ .

$A = 11.4269464$

Etapa 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 18

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $a$ .

$\frac{\sin (11.4269464)}{a} = \frac{\sin (149.57305359)}{14}$

Etapa 19

Resolva a equação para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.1

Avalie $\sin (11.4269464)$ .

$\frac{0.19811834}{a} = \frac{\sin (149.57305359)}{14}$

Etapa 19.1.2

Avalie $\sin (149.57305359)$ .

$\frac{0.19811834}{a} = \frac{0.50643935}{14}$

Etapa 19.1.3

Divida $0.50643935$ por $14$ .

$\frac{0.19811834}{a} = 0.03617423$

Etapa 19.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$a, 1$

Etapa 19.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$a$

Etapa 19.3

Multiplique cada termo em $\frac{0.19811834}{a} = 0.03617423$ por $a$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{0.19811834}{a} = 0.03617423$ por $a$ .

$\frac{0.19811834}{a} a = 0.03617423 a$

Etapa 19.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.3.2.1

Cancele o fator comum de $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.19811834}{a} a = 0.03617423 a$

Etapa 19.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$0.19811834 = 0.03617423 a$

Etapa 19.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.4.1

Reescreva a equação como $0.03617423 a = 0.19811834$ .

$0.03617423 a = 0.19811834$

Etapa 19.4.2

Divida cada termo em $0.03617423 a = 0.19811834$ por $0.03617423$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.4.2.1

Divida cada termo em $0.03617423 a = 0.19811834$ por $0.03617423$ .

$\frac{0.03617423 a}{0.03617423} = \frac{0.19811834}{0.03617423}$

Etapa 19.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $0.03617423$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.03617423 a}{0.03617423} = \frac{0.19811834}{0.03617423}$

Etapa 19.4.2.2.1.2

Divida $a$ por $1$ .

$a = \frac{0.19811834}{0.03617423}$

Etapa 19.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.4.2.3.1

Divida $0.19811834$ por $0.03617423$ .

$a = 5.47677979$

Etapa 20

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

Combinação do primeiro triângulo:

$A = 130.57305359$

$B = 30.4269464$

$C = 19$

$a = \sqrt{277 - 252 \cos (130.57305359)}$

$b = 14$

$c = 9$

Combinação do segundo triângulo:

$A = 11.4269464$

$B = 149.57305359$

$C = 19$

$a = 5.47677979$

$b = 14$

$c = 9$