Trigonometria Exemplos

$C = 64.41$ , $B = 54.23$ , $c = 12.75 m$

Etapa 1

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 2

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $b$ .

$\frac{\sin (54.23)}{b} = \frac{\sin (64.41)}{12.75 m}$

Etapa 3

Resolva a equação para $b$ .

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Etapa 3.1

Fatore cada termo.

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Etapa 3.1.1

Avalie $\sin (54.23)$ .

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{\sin (64.41)}{12.75 m}$

Etapa 3.1.2

Avalie $\sin (64.41)$ .

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792}{12.75 m}$

Etapa 3.1.3

Fatore $0.90190792$ de $0.90190792$ .

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792 (1)}{12.75 m}$

Etapa 3.1.4

Fatore $12.75$ de $12.75 m$ .

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792 (1)}{12.75 (m)}$

Etapa 3.1.5

Separe as frações.

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792}{12.75} \cdot \frac{1}{m}$

Etapa 3.1.6

Divida $0.90190792$ por $12.75$ .

$\frac{0.81136999}{b} = 0.07073787 \frac{1}{m}$

Etapa 3.1.7

Combine $0.07073787$ e $\frac{1}{m}$ .

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.07073787}{m}$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$b, m$

Etapa 3.2.2

Since $b, m$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1$ then find LCM for the variable part $b^{1}, m^{1}$ .

Etapa 3.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.5

O MMC de $1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 3.2.6

O fator de $b^{1}$ é o próprio $b$ .

$b^{1} = b$

$b$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.2.7

O fator de $m^{1}$ é o próprio $m$ .

$m^{1} = m$

$m$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.2.8

O MMC de $b^{1}, m^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$b \cdot m$

Etapa 3.2.9

Multiplique $b$ por $m$ .

$b m$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.07073787}{m}$ por $b m$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.07073787}{m}$ por $b m$ .

$\frac{0.81136999}{b} (b m) = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $b$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Fatore $b$ de $b m$ .

$\frac{0.81136999}{b} (b (m)) = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

Etapa 3.3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{0.81136999}{b} (b m) = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

Etapa 3.3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$0.81136999 m = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum de $m$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Fatore $m$ de $b m$ .

$0.81136999 m = \frac{0.07073787}{m} (m b)$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$0.81136999 m = \frac{0.07073787}{m} (m b)$

Etapa 3.3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$0.81136999 m = 0.07073787 b$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $0.07073787 b = 0.81136999 m$ .

$0.07073787 b = 0.81136999 m$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $0.07073787 b = 0.81136999 m$ por $0.07073787$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $0.07073787 b = 0.81136999 m$ por $0.07073787$ .

$\frac{0.07073787 b}{0.07073787} = \frac{0.81136999 m}{0.07073787}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $0.07073787$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0.07073787 b}{0.07073787} = \frac{0.81136999 m}{0.07073787}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $b$ por $1$ .

$b = \frac{0.81136999 m}{0.07073787}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.3.1

Fatore $0.81136999$ de $0.81136999 m$ .

$b = \frac{0.81136999 (m)}{0.07073787}$

Etapa 3.4.2.3.2

Fatore $0.07073787$ de $0.07073787$ .

$b = \frac{0.81136999 (m)}{0.07073787 (1)}$

Etapa 3.4.2.3.3

Separe as frações.

$b = \frac{0.81136999}{0.07073787} \cdot \frac{m}{1}$

Etapa 3.4.2.3.4

Divida $0.81136999$ por $0.07073787$ .

$b = 11.47009255 \frac{m}{1}$

Etapa 3.4.2.3.5

Divida $m$ por $1$ .

$b = 11.47009255 m$

Etapa 4

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$A + 64.41 + 54.23 = 180$

Etapa 5

Resolva a equação para $A$ .

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Etapa 5.1

Some $64.41$ e $54.23$ .

$A + 118.64 = 180$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $118.64$ dos dois lados da equação.

$A = 180 - 118.64$

Etapa 5.2.2

Subtraia $118.64$ de $180$ .

$A = 61.36$

Etapa 6

Use a lei dos cossenos para encontrar o lado desconhecido do triângulo, considerando os outros dois lados e o ângulo incluído.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Etapa 7

Resolva a equação.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Etapa 8

Substitua os valores conhecidos na equação.

$a = \sqrt{{(11.47009255 m)}^{2} + {(12.75 m)}^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Etapa 9

Simplifique os resultados.

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Etapa 9.1

Aplique a regra do produto a $11.47009255 m$ .

$a = \sqrt{{11.47009255}^{2} m^{2} + {(12.75 m)}^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Etapa 9.2

Eleve $11.47009255$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + {(12.75 m)}^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Etapa 9.3

Aplique a regra do produto a $12.75 m$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + {12.75}^{2} m^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Etapa 9.4

Eleve $12.75$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

Etapa 9.5

Multiplique $m$ por $m$ somando os expoentes.

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Etapa 9.5.1

Mova $m$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 2 (11.47009255 (m \cdot m)) \cdot (12.75 \cos (61.36))}$

Etapa 9.5.2

Multiplique $m$ por $m$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 2 (11.47009255 m^{2}) \cdot (12.75 \cos (61.36))}$

Etapa 9.6

Multiplique.

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Etapa 9.6.1

Multiplique $11.47009255$ por $- 2$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 22.9401851 m^{2} \cdot (12.75 \cos (61.36))}$

Etapa 9.6.2

Multiplique $12.75$ por $- 22.9401851$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 292.48736011 m^{2} \cos (61.36)}$

Etapa 9.7

Multiplique $\cos (61.36)$ por $- 292.48736011$ .

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 140.19056316 m^{2}}$

Etapa 9.8

Some $131.56302318 m^{2}$ e $162.5625 m^{2}$ .

$a = \sqrt{294.12552318 m^{2} - 140.19056316 m^{2}}$

Etapa 9.9

Subtraia $140.19056316 m^{2}$ de $294.12552318 m^{2}$ .

$a = \sqrt{153.93496001 m^{2}}$

Etapa 9.10

Reescreva $153.93496001 m^{2}$ como ${(12.40705283 m)}^{2}$ .

$a = \sqrt{{(12.40705283 m)}^{2}}$

Etapa 9.11

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$a = 12.40705283 m$

Etapa 10

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

$A = 61.36$

$B = 54.23$

$C = 64.41$

$a = 12.40705283 m$

$b = 11.47009255 m$

$c = 12.75 m$