Trigonometria Exemplos

$b = 8$ , $c = 10$ , $B = 30$

Etapa 1

A Lei dos Senos produz um resultado angular ambíguo. Isso significa que existem ângulos $2$ que resolverão corretamente a equação. Para o primeiro triângulo, use o primeiro valor de ângulo possível.

Resolva o primeiro triângulo.

Etapa 2

A lei dos senos se baseia na proporcionalidade dos lados e ângulos em triângulos. A lei afirma que, para os ângulos de um triângulo não retângulo, cada ângulo tem a mesma proporção da medida do ângulo para o valor do seno.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $C$ .

$\frac{\sin (C)}{10} = \frac{\sin (30)}{8}$

Etapa 4

Resolva a equação para $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique os dois lados da equação por $10$ .

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Etapa 4.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Etapa 4.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (C) = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique $10 \frac{\sin (30)}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\sin (C) = 2 (5) \frac{\sin (30)}{8}$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Fatore $2$ de $8$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.2.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.2.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$\sin (C) = 5 \frac{\sin (30)}{4}$

Etapa 4.2.2.1.2

Combine $5$ e $\frac{\sin (30)}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5 \sin (30)}{4}$

Etapa 4.2.2.1.3

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{5 (\frac{1}{2})}{4}$

Etapa 4.2.2.1.4

Combine $5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{\frac{5}{2}}{4}$

Etapa 4.2.2.1.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sin (C) = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 4.2.2.1.6

Multiplique $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.6.1

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5}{2 \cdot 4}$

Etapa 4.2.2.1.6.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\sin (C) = \frac{5}{8}$

Etapa 4.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $C$ de dentro do seno.

$C = \arcsin (\frac{5}{8})$

Etapa 4.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Avalie $\arcsin (\frac{5}{8})$ .

$C = 38.68218745$

Etapa 4.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$C = 180 - 38.68218745$

Etapa 4.6

Subtraia $38.68218745$ de $180$ .

$C = 141.31781254$

Etapa 4.7

A solução para a equação $C = 38.68218745$ .

$C = 38.68218745, 141.31781254$

Etapa 5

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$A + 38.68218745 + 30 = 180$

Etapa 6

Resolva a equação para $A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Some $38.68218745$ e $30$ .

$A + 68.68218745 = 180$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $68.68218745$ dos dois lados da equação.

$A = 180 - 68.68218745$

Etapa 6.2.2

Subtraia $68.68218745$ de $180$ .

$A = 111.31781254$

Etapa 7

Use a lei dos cossenos para encontrar o lado desconhecido do triângulo, considerando os outros dois lados e o ângulo incluído.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Etapa 8

Resolva a equação.

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

Etapa 9

Substitua os valores conhecidos na equação.

$a = \sqrt{{(8)}^{2} + {(10)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cos (111.31781254)}$

Etapa 10

Simplifique os resultados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{64 + {(10)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (10 \cos (111.31781254))}$

Etapa 10.2

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{64 + 100 - 2 \cdot 8 \cdot (10 \cos (111.31781254))}$

Etapa 10.3

Multiplique $- 2 \cdot 8 \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$a = \sqrt{64 + 100 - 16 \cdot (10 \cos (111.31781254))}$

Etapa 10.3.2

Multiplique $- 16$ por $10$ .

$a = \sqrt{64 + 100 - 160 \cos (111.31781254)}$

Etapa 10.4

Some $64$ e $100$ .

$a = \sqrt{164 - 160 \cos (111.31781254)}$

Etapa 10.5

Reescreva $164 - 160 \cos (111.31781254)$ como $2^{2} (41 - 40 \cos (111.31781254))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Fatore $4$ de $164$ .

$a = \sqrt{4 (41) - 160 \cos (111.31781254)}$

Etapa 10.5.2

Fatore $4$ de $- 160 \cos (111.31781254)$ .

$a = \sqrt{4 (41) + 4 (- 40 \cos (111.31781254))}$

Etapa 10.5.3

Fatore $4$ de $4 (41) + 4 (- 40 \cos (111.31781254))$ .

$a = \sqrt{4 (41 - 40 \cos (111.31781254))}$

Etapa 10.5.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$a = \sqrt{2^{2} (41 - 40 \cos (111.31781254))}$

Etapa 10.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$a = 2 \sqrt{41 - 40 \cos (111.31781254)}$

Etapa 11

Para o segundo triângulo, use o segundo valor angular possível.

Resolva o segundo triângulo.

Etapa 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 13

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $C$ .

$\frac{\sin (C)}{10} = \frac{\sin (30)}{8}$

Etapa 14

Resolva a equação para $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Multiplique os dois lados da equação por $10$ .

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Etapa 14.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Etapa 14.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (C) = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

Etapa 14.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1

Simplifique $10 \frac{\sin (30)}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1.1.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\sin (C) = 2 (5) \frac{\sin (30)}{8}$

Etapa 14.2.2.1.1.2

Fatore $2$ de $8$ .

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

Etapa 14.2.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

Etapa 14.2.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$\sin (C) = 5 \frac{\sin (30)}{4}$

Etapa 14.2.2.1.2

Combine $5$ e $\frac{\sin (30)}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5 \sin (30)}{4}$

Etapa 14.2.2.1.3

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{5 (\frac{1}{2})}{4}$

Etapa 14.2.2.1.4

Combine $5$ e $\frac{1}{2}$ .

$\sin (C) = \frac{\frac{5}{2}}{4}$

Etapa 14.2.2.1.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sin (C) = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 14.2.2.1.6

Multiplique $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1.6.1

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\sin (C) = \frac{5}{2 \cdot 4}$

Etapa 14.2.2.1.6.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$\sin (C) = \frac{5}{8}$

Etapa 14.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $C$ de dentro do seno.

$C = \arcsin (\frac{5}{8})$

Etapa 14.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Avalie $\arcsin (\frac{5}{8})$ .

$C = 38.68218745$

Etapa 14.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $180$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$C = 180 - 38.68218745$

Etapa 14.6

Subtraia $38.68218745$ de $180$ .

$C = 141.31781254$

Etapa 14.7

A solução para a equação $C = 38.68218745$ .

$C = 38.68218745, 141.31781254$

Etapa 15

A soma de todos os ângulos em um triângulo é $180$ graus.

$A + 141.31781254 + 30 = 180$

Etapa 16

Resolva a equação para $A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Some $141.31781254$ e $30$ .

$A + 171.31781254 = 180$

Etapa 16.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Subtraia $171.31781254$ dos dois lados da equação.

$A = 180 - 171.31781254$

Etapa 16.2.2

Subtraia $171.31781254$ de $180$ .

$A = 8.68218745$

Etapa 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Etapa 18

Substitua os valores conhecidos na lei dos senos para encontrar $a$ .

$\frac{\sin (8.68218745)}{a} = \frac{\sin (30)}{8}$

Etapa 19

Resolva a equação para $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.1

Avalie $\sin (8.68218745)$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{\sin (30)}{8}$

Etapa 19.1.2

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{\frac{1}{2}}{8}$

Etapa 19.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

Etapa 19.1.4

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{2 \cdot 8}$

Etapa 19.1.4.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{16}$

Etapa 19.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$a, 16$

Etapa 19.2.2

Since $a, 16$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 16$ then find LCM for the variable part $a^{1}$ .

Etapa 19.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 19.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 19.2.5

Os fatores primos de $16$ são $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.5.1

$16$ tem fatores de $2$ e $8$ .

$2 \cdot 8$

Etapa 19.2.5.2

$8$ tem fatores de $2$ e $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 4$

Etapa 19.2.5.3

$4$ tem fatores de $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Etapa 19.2.6

Multiplique $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2$

Etapa 19.2.6.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 \cdot 2$

Etapa 19.2.6.3

Multiplique $8$ por $2$ .

$16$

Etapa 19.2.7

O fator de $a^{1}$ é o próprio $a$ .

$a^{1} = a$

$a$ ocorre $1$ vez.

Etapa 19.2.8

O MMC de $a^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$a$

Etapa 19.2.9

O MMC de $a, 16$ é a parte numérica $16$ multiplicada pela parte variável.

$16 a$

Etapa 19.3

Multiplique cada termo em $\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{16}$ por $16 a$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{16}$ por $16 a$ .

$\frac{0.1509535}{a} (16 a) = \frac{1}{16} (16 a)$

Etapa 19.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 \frac{0.1509535}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

Etapa 19.3.2.2

Multiplique $16 \frac{0.1509535}{a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.3.2.2.1

Combine $16$ e $\frac{0.1509535}{a}$ .

$\frac{16 \cdot 0.1509535}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

Etapa 19.3.2.2.2

Multiplique $16$ por $0.1509535$ .

$\frac{2.41525603}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

Etapa 19.3.2.3

Cancele o fator comum de $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2.41525603}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

Etapa 19.3.2.3.2

Reescreva a expressão.

$2.41525603 = \frac{1}{16} (16 a)$

Etapa 19.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.3.3.1

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.3.3.1.1

Fatore $16$ de $16 a$ .

$2.41525603 = \frac{1}{16} (16 (a))$

Etapa 19.3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$2.41525603 = \frac{1}{16} (16 a)$

Etapa 19.3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$2.41525603 = a$

Etapa 19.4

Reescreva a equação como $a = 2.41525603$ .

$a = 2.41525603$

Etapa 20

Esses são os resultados de todos os ângulos e lados do triângulo em questão.

Combinação do primeiro triângulo:

$A = 111.31781254$

$B = 30$

$C = 38.68218745$

$a = 2 \sqrt{41 - 40 \cos (111.31781254)}$

$b = 8$

$c = 10$

Combinação do segundo triângulo:

$A = 8.68218745$

$B = 30$

$C = 141.31781254$

$a = 2.41525603$

$b = 8$

$c = 10$